3. Nous devons ici appliquer les résultats théoriques obtenues aux deux questions
précédentes au cas particulier de la matrice A. Bien entendu, il faut commencer par
s’assurer que la matrice A est bien du type considéré précédemment.
La matrice
N =


0 1 3
0 0 2
0 0 0


est nilpotente. En effet, on a
N
2
=


0 0 2
0 0 0
0 0 0

 et N
3
=


0 0 0
0 0 0
0 0 0

 .
Par conséquent, nous pouvons appliquer les résultats précédents à la matrice
A = I n + N. On en déduit que la matrice A est inversible d’inverse
A
−1
= I n − N + N
2
=


1 −1 −1
0 1 −2
0 0
1

 .
On en déduit également que, quel que soit p 2, on a
A p =
2
i=0
p
i
N i
= I n + p N +
p( p − 1)
2
N 2
=


1 p p 2 + 2 p
0 1
2p
0 0
1

 .
Exercice 14.3 : Calcul de puissances (sauf PTSI)
1. Soit A la matrice de M n (R) dont tous les coefficients valent 1. Calculer A p ,
pour p ∈ N ∗ .
2. Soit B = (b i, j ) 1i, jn la matrice carrée de taille n définie par
∀i, j ∈ {1,. . . ,n}, b i, j =
2 si i = j;
1 si i = / j.
Calculer B p , pour p ∈ N.
3. Calculer B −1 .
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Chapitre 14 • Matrices
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