1. Rappelons que, si R est un anneau et a,b deux éléments de R qui commutent,
on a
∀k ∈ N, a
k
− b
k
= (a − b)
k
i=0
a
i b
k−i
.
Nous pouvons, par exemple, utiliser cette formule dans l’anneau (M n (R),+,×)
avec a = I n et b = N. On obtient
I n = I
r
n − N
r
= (I n − N )
r−1
i=0
N
i
.
Cette remarque permet de trouver directement l’inverse de la matrice I n + N.
Signalons que cette méthode est classique et qu’il est bon de la retenir.
La matrice
r−1
i=0
(−1)
i N
i
est l’inverse de la matrice I n + N. En effet, on a
r−1
i=0
(−1) i N i
(I n + N ) =
r−1
i=0
(−1) i N i +
r−1
i=0
(−1) i N i+1
=
r−1
i=0
(−1) i N i +
r
i=1
(−1) i−1 N i
= I n + (−1) r−1 N r
= I n ,
car I n N = N I n .
2. Nous voulons ici calculer les puissances d’une somme de deux matrices. Puisque
ces matrices commutent, nous pouvons utiliser la formule du binôme de Newton.
Remarquons que les matrices I n et N commutent. Par conséquent, nous pouvons utiliser la formule du binôme de Newton : quel que soit p ∈ N, on a
(I n + N ) p =
p
i=0
p
i
N i
=
min( p,r−1)
i=0
p
i
N i ,
car, quel que soit q r, on a N q = 0.
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Partie 3 • Algèbre
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