M
n
= P(M)Q(M) + R(M) = R(M).
Puisque R(X) est de degré strictement inférieur à d, on voit qu’il suffit de calculer
les puissances A 2 ,. . . ,A d−1 pour les avoir toutes. Appliquons, à présent, cette
méthode à la matrice A.
On a tr(A) = 1 et det(A) = −2. D’après la première question, le polynôme
X 2 − X − 2 annule donc la matrice A.
Soit n 2. Effectuons la division euclidienne de X n par X 2 − X − 2 : il existe
Q(X),R(X) ∈ K[X], avec R de degré strictement inférieur à 2, vérifiant
(1) X
n
= (X
2
− X − 2)Q(X) + R(X).
Calculons R(X) . Il existe a,b ∈ K tels que R(X) = a n X + b n . Les
racines du polynôme Q(X) sont −1 et 2. Spécialisons la relation (1) en
X = −1 : on obtient (−1) n = −a n + b n . De même, en spécialisant en
X = 2, on obtient 2 n = 2a n + b n . On en déduit que

 
 
a n =
2 n − (−1) n
3
b n =
2 n + 2(−1) n
3
Or, toujours d’après la relation (1), nous avons
A
n
= (A
2
− A − 2 I 2 )Q(A) + R(A) = R(A) = a n A + b n I 2 .
Tous calculs faits, nous obtenons
A
n
=
1
3
2 n+2 − (−1) n
2 n+1 − 2(−1) n
−2 n+1 + 2(−1) n −2 n + 4(−1) n
.
Exercice 14.2 : Matrices unipotentes (sauf PTSI)
Soit N ∈ M n (R) une matrice nilpotente : il existe r ∈ N ∗ tel que N r = 0.
1. Montrer que la matrice I n + N est inversible et calculer son inverse.
2. Calculer (I n + N ) p , pour p ∈ N.
3. Soit la matrice
A =


1 1 3
0 1 2
0 0 1

 .
Calculer A −1 et A p , pour p ∈ N.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 14 • Matrices
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