Nous avons également tr(A) = a + d et det(A) = ad − bc. On en déduit
que
A 2 − tr(A) A + det(A) I 2
=
a 2 + bc − (a + d)a + ad − bc
ab + bd − (a + d)b
ac + cd − (a + d)c
bc+ d 2 − (a + d)d + ad − bc
=
0 0
0 0
.
2. Nous cherchons, à présent, à calculer l’inverse de la matrice A. Comment utiliser
la formule trouvée précédemment ? Souvenons-nous que l’inverse de la matrice A
est, par définition, l’unique matrice B vérifiant AB = B A = I. Nous allons donc
chercher à faire apparaître une relation du type AB = I en modifiant la formule dont
nous disposons.
D’après la question précédente, on a A 2 − tr(A) A + det(A) I 2 = 0 , autrement dit A (A − tr(A) I 2 ) = −det(A) I 2 . Puisque det(A) = / 0, cette formule peut encore s’écrire
A ((det(A))
−1
(tr(A) I 2 − A)) = I 2 .
On en déduit que
A
−1
= (det(A))
−1
(tr(A) I 2 − A).
Si la matrice A s’écrit
a b
c d
, on trouve
A
−1
=
1
ad − bc
d −b
−c a
.
Il faut remarquer ici que nous avons trouvé une matrice B vérifiant AB = I 2 . Pour
que la matrice B soit l’inverse de la matrice A, il faut, a priori, vérifier également
que l’on a bien B A = I 2 . Nous nous sommes dispensés de ce calcul, car le résultat
est automatique pour les matrices : un inverse à droite est nécessairement un inverse
à gauche, et réciproquement.
3. Il existe une méthode classique pour calculer les puissances d’une matrice M
lorsque l’on en connaît un polynôme annulateur P(X). Notons d son degré. Soit
n ∈ N. Calculer M n revient à appliquer le polynôme X n à la matrice M. Pour effectuer ce calcul, nous pouvons profiter de la relation P(M) = 0. En effet, effectuons
la division euclidienne de X n par P(X) : il existe Q(X),R(X) ∈ K[X], avec R de
degré strictement inférieur à d, vérifiant X n = P(X)Q(X) + R(X). Pour la matrice
M, cela signifie que l’on a
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Partie 3 • Algèbre
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que
A 2 − tr(A) A + det(A) I 2
=
a 2 + bc − (a + d)a + ad − bc
ab + bd − (a + d)b
ac + cd − (a + d)c
bc+ d 2 − (a + d)d + ad − bc
=
0 0
0 0
.
2. Nous cherchons, à présent, à calculer l’inverse de la matrice A. Comment utiliser
la formule trouvée précédemment ? Souvenons-nous que l’inverse de la matrice A
est, par définition, l’unique matrice B vérifiant AB = B A = I. Nous allons donc
chercher à faire apparaître une relation du type AB = I en modifiant la formule dont
nous disposons.
D’après la question précédente, on a A 2 − tr(A) A + det(A) I 2 = 0 , autrement dit A (A − tr(A) I 2 ) = −det(A) I 2 . Puisque det(A) = / 0, cette formule peut encore s’écrire
A ((det(A))
−1
(tr(A) I 2 − A)) = I 2 .
On en déduit que
A
−1
= (det(A))
−1
(tr(A) I 2 − A).
Si la matrice A s’écrit
a b
c d
, on trouve
A
−1
=
1
ad − bc
d −b
−c a
.
Il faut remarquer ici que nous avons trouvé une matrice B vérifiant AB = I 2 . Pour
que la matrice B soit l’inverse de la matrice A, il faut, a priori, vérifier également
que l’on a bien B A = I 2 . Nous nous sommes dispensés de ce calcul, car le résultat
est automatique pour les matrices : un inverse à droite est nécessairement un inverse
à gauche, et réciproquement.
3. Il existe une méthode classique pour calculer les puissances d’une matrice M
lorsque l’on en connaît un polynôme annulateur P(X). Notons d son degré. Soit
n ∈ N. Calculer M n revient à appliquer le polynôme X n à la matrice M. Pour effectuer ce calcul, nous pouvons profiter de la relation P(M) = 0. En effet, effectuons
la division euclidienne de X n par P(X) : il existe Q(X),R(X) ∈ K[X], avec R de
degré strictement inférieur à d, vérifiant X n = P(X)Q(X) + R(X). Pour la matrice
M, cela signifie que l’on a
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