Supposons que Im(g) ⊂ Ker( f ). Soit x ∈ E. L’élément g(x) appartient à
Im(g) ⊂ Ker( f ). Par conséquent, on a f (g(x)) = 0.
Supposons, à présent, que f ◦ g = 0. Soit x ∈ Im(g). Il existe y ∈ E tel
que x = g(y). Puisque f ◦ g = 0, on a f (x) = f (g(y)) = 0, d’où
x ∈ Ker( f ).
2.a. Dans cette question, nous devons calculer les dimensions du noyau et de
l’image de l’endomorphisme f. Nous allons commencer par écrire toutes les informations que nous avons concernant ces dimensions. Tout d’abord f est un endomorphisme de R 3 . On en déduit que
dim(Ker( f )) 3 et dim(Im( f )) 3.
En outre, l’endomorphisme f n’est pas nul, autrement dit, dim(Ker( f )) < 3 et
dim(Im( f )) > 0. Nous pouvons donc être plus précis :
dim(Ker( f )) ∈ {0,1,2} et dim(Im( f )) ∈ {1,2,3}.
Appliquons le théorème du rang. On obtient
dim(Ker( f )) + dim(Im( f )) = dim(R
3
) = 3.
L’énoncé nous suggère d’utiliser la question précédente. En l’appliquant avec
g = f, on obtient Im( f ) ⊂ Ker( f ) . On en déduit que
dim(Im( f )) dim(Ker( f )).
Une fois ces informations regroupées, il ne nous reste qu’une possibilité :
dim(Im( f )) = 1 et dim(Ker( f )) = 2.
D’après le théorème du rang, on a
dim(Ker( f )) + dim(Im( f )) = 3.
D’après la question précédente, appliquée avec g = f, on a
dim(Im( f )) dim(Ker( f )).
Il ne nous reste que deux possibilités : soit dim(Im( f )) = 0 et
dim(Ker( f )) = 3, soit dim(Im( f )) = 1 et dim(Ker( f )) = 2. La première
possibilité est exclue car elle correspond à l’endomorphisme nul. Nous obtenons finalement
dim(Im( f )) = 1 et dim(Ker( f )) = 2.
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Chapitre 14 • Matrices
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