soit enfin
ln(u n+1 ) − ln(u n ) =
n +
1
2
ln
1 +
1
n
− 1
= (2n + 1) f
1
2n + 1
.
Or f est strictement positive sur ]0,1[ d’où : ln(u n+1 ) − ln(u n ) > 0 . La
suite (ln(u n )) n∈N ∗ est donc croissante.
5. v n étant défini en fonction de u n , on obtient une expression de ln(v n ) en fonction
de ln(u n ) qui a précisément été calculé ci-dessus.
On a, par définition,
ln(v n ) = ln(u n ) +
1
12n
donc
ln(v n+1 ) − ln(v n ) = ln(u n+1 ) − ln(u n ) +
1
12n
−
1
12(n + 1)
= (2n + 1) f
1
2n + 1
−
1
12n(n + 1)
= (2n + 1) f
1
2n + 1
− (2n + 1)g
1
2n + 1
= (2n + 1)h
1
2n + 1
.
Or h est strictement négative sur ]0,1[ donc (ln(v n )) n∈N ∗ est décroissante.
6. Tout le travail a été fait précédemment : il n’y a plus qu’à vérifier la définition
des suites adjacentes.
La suite (ln(u n )) n∈N ∗ est croissante et la suite (ln(v n )) n∈N ∗ décroissante.
D’autre part,
ln(v n ) = ln(u n ) +
1
12n
donc
lim
n→∞
(ln(v n ) − ln(u n )) = 0
Ainsi, par définition, les suites (ln(u n )) n∈N ∗ et (ln(v n )) n∈N ∗ sont adjacentes.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 1 • Fonctions usuelles
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