3. Idem en plus simple puisqu’il n’y a pas de logarithme.
De la même manière :
(2n + 1)g
1
2n + 1
=
1
2n + 1
2
3
1 −
1
2n + 1
2
=
1
3((2n + 1) 2 − 1)
=
1
12n(n + 1)
car (2n + 1) 2 = 4n 2 + 4n + 1.
4. Le terme u n est exprimé à l’aide de produits (dont des puissances et des factorielles). Le terme ln(u n ) peut donc s’écrire comme une somme de termes simples.
C’est ce qu’il est conseillé de faire pour y voir plus clair et éviter ainsi les erreurs
de calcul dans la suite.
On a
ln(u n ) =
n +
1
2
ln(n) − n − ln(n!)
d’où
ln(u n+1 ) =
n +
3
2
ln(n + 1) − (n + 1) − ln((n + 1)!).
En utilisant les relations
ln(n + 1) = ln(n) + ln
1 +
1
n
et
ln((n + 1)!) = ln(n!) + ln(n + 1)
il vient
ln((n + 1)!) = ln(n!) + ln(n) + ln
1 +
1
n
et on obtient :
ln(u n+1 ) =
n +
3
2
ln(n) +
n +
3
2
ln
1 +
1
n
−(n + 1) − ln(n!) − ln(n) − ln
1 +
1
n
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Partie 1 • Première période
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