f (e i ) =
n
j=1 a i, j e j , avec a i, j ∈ R, quel que soit j ∈ {1,. . . ,n}. Grâce
aux propriétés du déterminant, on a
det B (e 1 ,. . . , f (e i ),. . . ,e n ) = det B
e 1 ,. . . ,e i−1 ,
n
j=1
a i, j e j ,e i+1 ,. . . ,e n
= a i,i det B (e 1 ,. . . ,e i ,. . . ,e n )
= a i,i .
On en déduit que
ϕ(e 1 ,. . . ,e n ) =
n
i=1
a i,i = tr( f ).
En reportant dans la formule (S), on obtient
tr( f ) = λ det B (e 1 ,. . . ,e n ) = λ.
On en déduit finalement que
ϕ = tr( f ) det B .
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Partie 3 • Algèbre
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