Il nous reste, à présent, à montrer que l’application ϕ est alternée. Rappelons
qu’une application n-linéaire g : E n → F, où E et F sont des R-espaces vectoriels,
est dite alternée si g(x 1 ,. . . ,x n ) = 0 dès qu’il existe i = / j tels que x i = x j .
Soit (x 1 ,. . . ,x n ) ∈ R n . Supposons qu’il existe i, j ∈ {1,. . . ,n}, avec i = / j,
tels que x i = x j . Calculons ϕ(x 1 ,. . . ,x n ). Il s’écrit comme une somme de n
termes.
Soit k ∈ {1,. . . ,n} \ {i, j}. Le terme a k d’indice k de la somme est un
déterminant dont le i-ème facteur x i est égal au j-ème facteur x j . Par
conséquent, on a a k = 0.
Le terme a i d’indice i de la somme vaut det B (x 1 ,. . . , f (x i ),. . . ,x j ,. . . ,x n ) .
Le terme a j d’indice j de la somme vaut
det B (x 1 ,. . . ,x i ,. . . , f (x j ),. . . ,x n )
= det B (x 1 ,. . . ,x i ,. . . , f (x i ),. . . ,x n )
= −det B (x 1 ,. . . , f (x i ),. . . ,x j ,. . . ,x n )
= −a i .
On en déduit que
ϕ(x 1 ,. . . ,x n ) =
n
k=1
a k = a i + a j = 0.
Par conséquent, l’application ϕ est alternée.
2. Pour résoudre cette deuxième question, il faut se souvenir d’un résultat important
du cours sur les applications multilinéaires et le déterminant : si E est un R-espace
vectoriel de dimension n, l’espace vectoriel des formes n-linéaires et alternées est
de dimension 1 et engendré par le déterminant.
Par conséquent, le résultat de la question précédente nous montre que l’application
ϕ est un multiple du déterminant : il existe λ ∈ R tel que ϕ = λ det. Pour déterminer le coefficient de multiplicité λ, il nous suffit d’appliquer cette formule avec un
n-uplet de vecteurs (x 1 ,. . . ,x n ) bien choisi.
L’espace vectoriel des formes n-linéaires alternées sur R n est de dimension
1 et engendré par le déterminant. Par conséquent, il existe λ ∈ R tel que
(S) ϕ = λ det B .
Notons (e 1 ,. . . ,e n ) la base canonique de R n . Calculons ϕ(e 1 ,. . . ,e n ). Soit
i ∈ {1,. . . ,n}.
Calculons,
tout
d’abord,
le
nombre
réel
det(e 1 ,. . . , f (e i ),. . . ,e n ). Écrivons le vecteur f (e i ) sous la forme
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 13 • Algèbre linéraire en dimension finie
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qu’une application n-linéaire g : E n → F, où E et F sont des R-espaces vectoriels,
est dite alternée si g(x 1 ,. . . ,x n ) = 0 dès qu’il existe i = / j tels que x i = x j .
Soit (x 1 ,. . . ,x n ) ∈ R n . Supposons qu’il existe i, j ∈ {1,. . . ,n}, avec i = / j,
tels que x i = x j . Calculons ϕ(x 1 ,. . . ,x n ). Il s’écrit comme une somme de n
termes.
Soit k ∈ {1,. . . ,n} \ {i, j}. Le terme a k d’indice k de la somme est un
déterminant dont le i-ème facteur x i est égal au j-ème facteur x j . Par
conséquent, on a a k = 0.
Le terme a i d’indice i de la somme vaut det B (x 1 ,. . . , f (x i ),. . . ,x j ,. . . ,x n ) .
Le terme a j d’indice j de la somme vaut
det B (x 1 ,. . . ,x i ,. . . , f (x j ),. . . ,x n )
= det B (x 1 ,. . . ,x i ,. . . , f (x i ),. . . ,x n )
= −det B (x 1 ,. . . , f (x i ),. . . ,x j ,. . . ,x n )
= −a i .
On en déduit que
ϕ(x 1 ,. . . ,x n ) =
n
k=1
a k = a i + a j = 0.
Par conséquent, l’application ϕ est alternée.
2. Pour résoudre cette deuxième question, il faut se souvenir d’un résultat important
du cours sur les applications multilinéaires et le déterminant : si E est un R-espace
vectoriel de dimension n, l’espace vectoriel des formes n-linéaires et alternées est
de dimension 1 et engendré par le déterminant.
Par conséquent, le résultat de la question précédente nous montre que l’application
ϕ est un multiple du déterminant : il existe λ ∈ R tel que ϕ = λ det. Pour déterminer le coefficient de multiplicité λ, il nous suffit d’appliquer cette formule avec un
n-uplet de vecteurs (x 1 ,. . . ,x n ) bien choisi.
L’espace vectoriel des formes n-linéaires alternées sur R n est de dimension
1 et engendré par le déterminant. Par conséquent, il existe λ ∈ R tel que
(S) ϕ = λ det B .
Notons (e 1 ,. . . ,e n ) la base canonique de R n . Calculons ϕ(e 1 ,. . . ,e n ). Soit
i ∈ {1,. . . ,n}.
Calculons,
tout
d’abord,
le
nombre
réel
det(e 1 ,. . . , f (e i ),. . . ,e n ). Écrivons le vecteur f (e i ) sous la forme
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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