rapport à chacune de ses variables. Autrement dit, g est n-linéaire si, et seulement
si, quel que soient j ∈ {1,. . . ,n}, (x 1 ,. . . ,x j−1 ,x j+1 ,. . . ,x n ) ∈ E n−1 , x j ,y j ∈ E ,
λ,µ ∈ R, on a
g(x 1 ,. . . ,x j−1 ,λ x j + µ y j ,x j+1 ,. . . ,x n )
= λ g(x 1 ,. . . ,x j−1 ,x j ,x j+1 ,. . . ,x n ) + µ g(x 1 ,. . . ,x j−1 ,y j ,x j+1 ,. . . ,x n ).
Rappelons également qu’une forme n-linéaire sur E est une application n-linéaire
de E n dans R.
Soient j ∈ {1,. . . ,n}, (x 1 ,. . . ,x j−1 ,x j+1 ,. . . ,x n ) ∈ (R n ) n−1 , x j ,y j ∈ R n ,
λ,µ ∈ R. Calculons ϕ(x 1 ,. . . ,x j−1 ,λ x j + µ y j ,x j+1 ,. . . ,x n ) . Par définition de ϕ, cet élément s’obtient comme somme de n termes.
Soit i = / j. Le terme a i correspondant à l’indice i est un déterminant dont
le j-ème facteur vaut λ x j + µ y j . Par n-linéarité du déterminant, on peut
développer par rapport à ce facteur et l’on obtient
a i =
λ det B (x 1 ,. . . , f (x i ),. . . ,x j ,. . . ,x n )
+ µ det B (x 1 ,. . . , f (x i ),. . . ,y j ,. . . ,x n ).
Considérons, à présent, le terme a j correspondant à l’indice j. C’est un
déterminant dont le
j-ème facteur vaut f (λ x j + µ y j ) =
λ f (x j ) + µ f (y j ), par linéarité de f. En développant le déterminant par
rapport à ce facteur, on obtient
a j =
λ det B (x 1 ,. . . ,x j−1 , f (x j ),x j+1 ,. . . ,x n )
+ µ det B (x 1 ,. . . ,x j−1 , f (y j ),x j+1 ,. . . ,x n ).
En additionnant ces différents termes, on obtient
ϕ(x 1 ,. . . ,x j−1 ,λ x j + µ y j ,x j+1 ,. . . ,x n )
=
n
i /
= j
λ det B (x 1 ,. . . , f (x i ),. . . ,x j ,. . . ,x n )
+λ det B (x 1 ,. . . , f (x j ),. . . ,x n )
+
n
i /
= j
µ det B (x 1 ,. . . , f (x i ),. . . ,y j ,. . . ,x n )
+µ det B (x 1 ,. . . , f (y j ),. . . ,x n )
=
λ ϕ(x 1 ,. . . ,x j−1 ,x j ,x j+1 ,. . . ,x n )
+µ ϕ(x 1 ,. . . ,x j−1 ,y j ,x j+1 ,. . . ,x n ).
Par conséquent, l’application ϕ est une forme n-linéaire.
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Partie 3 • Algèbre
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