Cette inégalité est en particulier vérifiée si on a
Im( f
2
) ⊂ Ker( f ) ∩ Im( f ).
Il se trouve qu’on a bien cette inclusion, la vérification étant routinière.
Soit x ∈ Im( f 2 ). Par définition, il existe un élément y de E tel que
x = f 2 (y).
D’une part, f (x) = f ( f 2 (y)) = f 3 (y) = 0 car f 3 = 0. Ainsi,
x ∈ Ker( f ).
D’autre part, x = f ( f (y)) donc x ∈ Im( f ) (f (y) est en effet un antécédent de x par f).
Ainsi, x ∈ Ker( f ) ∩ Im( f ). Ceci étant vrai pour tout élément x de Im( f 2 )
on a donc
Im( f
2
) ⊂ Ker( f ) ∩ Im( f ).
Cette inclusion fournit l’égalité
rg( f
2
) dim(Ker( f ) ∩ Im( f )).
Par ailleurs, le théorème du rang appliqué à g donne
dim(Ker( f ) ∩ Im( f )) + rg( f
2
) = rg( f )
d’où enfin l’inégalité demandée :
2 rg( f
2
) rg( f ).
Exercice 13.7 : Multilinéarité (MPSI)
Soit n ∈ N. Soit f un endomorphisme de R n et B une base de R n . Considérons
l’application
ϕ :
(R n ) n
→
R
(x 1 ,. . . ,x n ) →
n
i=1
det B (x 1 ,. . . ,x i−1 , f (x i ),x i+1 ,. . . ,x n ) .
1. Montrer que l’application ϕ est une forme n-linéaire et alternée.
2. Montrer que, quel que soit (x 1 ,. . . ,x n ) ∈ (R n ) n , on a
ϕ(x 1 ,. . . ,x n ) = tr( f ) det B (x 1 ,. . . ,x n ).
1. Il s’agit ici d’une simple vérification. Rappelons qu’une application g : E n → F,
où E et F sont des R-espaces vectoriels, est dite n-linéaire si elle est linéaire par
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Chapitre 13 • Algèbre linéraire en dimension finie
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