Etant donné que, d’après le théorème du rang,
dim(Ker( f )) = n − rg( f )
il vient
rg( f
2
) n − rg( f )
soit
rg( f ) + rg( f
2
) n.
Nous aurions également pu utiliser l’inégalité rg( f ) dim(Ker( f 2 )) mais, dans
ce cas, nous aurions plutôt utilisé pour conclure le théorème du rang appliqué à
f 2 , i.e. la relation dim(Ker( f 2 )) + rg( f 2 ) = n.
2. Soit g la restriction de f à Im( f ). Par définition, g est l’application qui, à tout
élément x de Im( f ), associe f (x).
g est linéaire comme restriction d’une application linéaire à un sous-espace vectoriel.
Avant d’appliquer le théorème du rang à g, déterminons ses noyau et image en fonction de f.
• L’image de g est l’ensemble des vecteurs de la forme f (x) pour x appartenant à
l’image de f, c’est-à-dire pour x de la forme f (y) avec y ∈ E. Autrement dit, l’image de g est l’ensemble des vecteurs de la forme f ( f (y)) avec y ∈ E : on a donc
Im(g) = Im( f 2 ).
• D’autre part, les éléments du noyau de g sont les éléments x de son espace de définition, à savoir Im( f ), tels que f (x) = 0 : ce sont donc les vecteurs qui appartiennent à la fois à Im( f ) et Ker( f ), autrement dit Ker(g) = Ker( f ) ∩ Im( f ).
Le théorème du rang appliqué à g donne
dim(Ker(g)) + rg(g) = rg( f )
soit, d’après la discussion précédente,
dim(Ker( f ) ∩ Im( f )) + rg( f
2
) = rg( f ).
Pour aboutir à l’inégalité demandée, il suffit donc de démontrer que
rg( f
2
) dim(Ker( f ) ∩ Im( f )).
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Partie 3 • Algèbre
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