devons donc avoir a x = a x x . Si le vecteur x n’est pas nul, cela impose que l’on
ait
a = a x .
Nous avons donc trouvé un candidat pour le scalaire a. Il nous reste à vérifier que,
quel que soit y = / x, on a encore
f (y) = a y = a x y.
La question précédente nous suggère de distinguer deux cas selon que le vecteur y
est linéairement dépendant du vecteur x ou non.
Soit x ∈ E \ {0}. Par hypothèse, il existe a x ∈ K tel que
f (x) = a x x.
Soit y ∈ E. Montrons que l’on a encore
f (y) = a x y.
Nous allons distinguer deux cas.
• La famille (x,y) est liée.
Puisque x = / 0, il existe λ ∈ K tel que y = λx. Nous avons alors
f (y) = f (λx)
= λ f (x)
= λa x x
= a x y.
• La famille (x,y) est libre.
D’après la question précédente, nous avons a x = a y et donc
f (y) = a y y = a x y.
Finalement, nous avons montré que, quel que soit y ∈ E, on a
f (y) = a x y.
Par conséquent, l’endomorphisme f est l’homothétie de rapport a x .
2.a. Cette question est presque une question de cours. Rappelons qu’un projecteur
est défini par la donnée de deux sous-espaces supplémentaires, l’image et la direc© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 13 • Algèbre linéraire en dimension finie
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