tion. Plus précisément, si F et G sont deux sous-espaces vectoriels de E supplémentaires et si p est la projection sur F le long de G, on a
p |F = Id et p |G = 0.
L’image de ce projecteur est F. Nous allons donc imposer la condition F =Vect(x).
Soit G un supplémentaire de Vect(x) dans E. Considérons le projecteur p x
sur Vect(x) le long de G. Son image est alors Vect(x).
2.b. Nous devons déterminer le centre de L(E), c’est-à-dire l’ensemble des endomorphismes de E qui commutent avec tous les autres. Avant de commencer à raisonner, essayons de nous faire une idée en trouvant des éléments du centre. La question précédente nous donne une indication : considérer les homothéties. On se
convainc facilement qu’elles appartiennent toutes au centre de L(E). Rédigeons ce
résultat.
Soit f une homothétie de E. Il existe a ∈ R tel que f = h a = a Id . Quel
que soit g ∈ L(E) et quel que soit x ∈ E, nous avons alors
(g ◦ f )(x) = g( f (x))
= g(a x)
= a g(x)
= f (g(x))
= ( f ◦ g)(x).
On en déduit que f appartient au centre de L(E).
Nous allons montrer que les homothéties sont les seuls éléments du centre. Soit f un
élément du centre de L(E). D’après la question 1.b., pour montrer que f est une
homothétie, il suffit de montrer que, quel que soit x ∈ E, il existe a x ∈ K tel que
f (x) = a x x. Nous allons appliquer la question précédente pour essayer de démontrer cette propriété.
Soit f un élément du centre de L(E). Soit x ∈ E. D’après la question 2.a.,
il existe un projecteur p x de E dont l’image est égale à Vect(x). Puisque f
appartient au centre de L(E), nous avons
f ◦ p x = p x ◦ f.
En évaluant les deux membres de cette égalité en x, on obtient
f ( p x (x)) = p x ( f (x)).
294
Partie 3 • Algèbre
9782100547678-Fresl-C13.qxd 5/07/10 10:29 Page 294