a. Soit x ∈ E. Montrer qu’il existe un projecteur p x de E dont l’image est égale
à Vect(x).
b. Déterminer le centre de L(E).
1.a. L’énoncé nous suggère de calculer de deux façons différentes la quantité
f (x + y). Puisque f est linéaire, nous avons f (x + y) = f (x) + f (y) . En utilisant
l’hypothèse, on en déduit que
a x+y (x + y) = a x x + a y y.
Il nous reste à utiliser la liberté de la famille (x,y) pour trouver une relation entre
les coefficients a x et a y .
Par hypothèse, nous avons
f (x + y) = a x+y (x + y) = a x+y x + a x+y y.
Nous avons également
f (x + y) = f (x) + f (y)
= a x x + a y y.
En soustrayant ces deux égalités, on obtient
(a x − a x+y ) x + (a y − a x+y ) y = 0.
Puisque la famille (x,y) est libre, cette condition impose a x = a x+y et
a y = a x+y . On en déduit que
a x = a y .
1.b. L’expression « f est une homothétie » signifie
∃a ∈ K, ∀x ∈ E, f (x) = a x.
Nous disposons de l’hypothèse
∀x ∈ E, ∃a x ∈ K, f (x) = a x x.
Sous cette forme, nous voyons que l’exercice consiste en fait à inverser les quantificateurs ∀ et ∃.
Nous voulons trouver un élément a de K tel que, quel que soit x ∈ E, on ait
f (x) = a x. Soit x ∈ E. Nous avons, par hypothèse, f (x) = a x x . Nous
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Partie 3 • Algèbre
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