Un vecteur (x,y,z) de R 3 appartient au noyau de f si, et seulement si, on a



−2y
= 0
2x + 4z
= 0
x + 2y + 2z = 0
En effectuant exactement les mêmes opérations sur le système que sur la
matrice, on montre que ce système est équivalent à



x + 2y + 2z = 0
−4y
= 0
0
= 0
,
et donc à
x = −2z
y =
0
.
On en déduit que la famille ((2,0,−1)) est une base du noyau de f.
Remarquons, pour finir, que nous avons trouvé une image de dimension 2 et un
noyau de dimension 1. La somme des dimensions est 3, qui est la dimension de R 3 ,
en accord avec le théorème du rang.
Exercice 13.5 : Homothéties
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie. On rappelle qu’une homothétie
de E est une application linéaire de la forme
h a :
E → E
x → ax
,
avec a ∈ R.
1. Soit f un endomorphisme de E. Supposons que, quel que soit x ∈ E, il existe
a x ∈ K tel que
f (x) = a x x.
a. Soient x,y ∈ E deux vecteurs linéairement indépendants. Montrer que
a x = a y . On pourra chercher à calculer f (x + y) de deux façons différentes.
b. Montrer que f est une homothétie.
2. On appelle centre de L(E) l’ensemble des éléments f de E vérifiant la condition suivante
∀g ∈ L(E), f ◦ g = g ◦ f.
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Chapitre 13 • Algèbre linéraire en dimension finie
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