

1 2 2
2 0 4
0 −2 0

 L 1 ↔ L 3


1 2 2
0 −4 0
0 −2 0

 L 2
L 2 − 2L 1


1 2 2
0 −4 0
0 0 0


L 3
L 3 −
1
2 L 2
Le rang de M est égal à 2. On en déduit que le rang de f vaut également 2.
Image
Une fois que nous avons réussi à transformer, à l’aide d’opérations élémentaires sur
les lignes, la matrice M en une matrice triangulaire supérieure, il est facile de
déterminer une base de l’image de f. Cela revient exactement à extraire une famille
libre de rang maximal de la famille des colonnes de la matrice M. En effet, l’image
de f est engendrée par les colonnes de cette matrice. Nous avons vu, à la question
précédente, comment procéder.
En outre, la forme de la matrice obtenue nous montre que les premier et
deuxième vecteurs colonnes de la matrice M engendrent l’image de la
matrice. On en déduit que la famille ((0,2,1),(−2,0,2)) est une base de
l’image de f.
Noyau
Une fois que nous avons réussi à transformer, à l’aide d’opérations élémentaires sur
les lignes, la matrice M en une matrice triangulaire supérieure, il est également
facile de déterminer le noyau de f. Expliquons plus en détails. Un vecteur (x,y,z)
de R 3 appartient au noyau de f si, et seulement si, on a



−2y
= 0
2x + 4z = 0
x + 2y + 2z = 0
Nous pouvons effectuer sur ce système les mêmes opérations que nous avons effectué sur la matrice et simplifier ainsi sa résolution. Les calculs sont exactement identiques et il est donc inutile de les refaire.
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Partie 3 • Algèbre
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