Nous devons, à présent, extraire de la famille C une famille libre de rang maximal,
c’est-à-dire de rang 3. Cela revient à trouver une famille C formée de trois vecteurs
de C qui soit de rang 3. Nous pouvons en fait lire sur la matrice finale les vecteurs
à choisir. En effet, il faut qu’en effectuant des opérations élémentaires sur les lignes
de la matrice associée à C , on obtienne une matrice de rang 3. Si l’on garde les première, deuxième et quatrième colonne, ce sera visiblement le cas.
Considérons la famille
C
= ((2,0,1,−1),(1,1,2,1),(0,1,−1,0)) .
En effectuant sur la matrice associée à cette famille les mêmes opérations
élémentaires que précédemment, on obtient la matrice
2 1 0
0 1 1
0 0 −
7
2
0 0 0
,
qui est de rang 3. Par conséquent, la famille C est de rang 3. Comme elle
est composée de trois vecteurs, cette famille est libre.
3. Rang
Le calcul du rang d’un morphisme se ramène au calcul du rang d’une matrice, problème que nous avons traité dans les questions précédentes. En effet, le rang d’un
morphisme est le même que le rang de sa matrice exprimée dans n’importe quelles
bases, au départ et à l’arrivée. Ici, nous utiliserons la base canonique de R 3 .
La matrice de l’endomorphisme f dans la base canonique de R 3 est
M =
0 −2 0
2 0 4
1 2 2
.
Nous allons calculer le rang de cette matrice en effectuant des opérations
élémentaires sur ses lignes.
Dans ce cas, nous ne pouvons pas utiliser le coefficient en haut à gauche de la
matrice comme pivot, puisque celui-ci est nul. Nous devons commencer par
échanger deux lignes pour amener un coefficient non nul dans cette position.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
289
Chapitre 13 • Algèbre linéraire en dimension finie
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c’est-à-dire de rang 3. Cela revient à trouver une famille C formée de trois vecteurs
de C qui soit de rang 3. Nous pouvons en fait lire sur la matrice finale les vecteurs
à choisir. En effet, il faut qu’en effectuant des opérations élémentaires sur les lignes
de la matrice associée à C , on obtienne une matrice de rang 3. Si l’on garde les première, deuxième et quatrième colonne, ce sera visiblement le cas.
Considérons la famille
C
= ((2,0,1,−1),(1,1,2,1),(0,1,−1,0)) .
En effectuant sur la matrice associée à cette famille les mêmes opérations
élémentaires que précédemment, on obtient la matrice
2 1 0
0 1 1
0 0 −
7
2
0 0 0
,
qui est de rang 3. Par conséquent, la famille C est de rang 3. Comme elle
est composée de trois vecteurs, cette famille est libre.
3. Rang
Le calcul du rang d’un morphisme se ramène au calcul du rang d’une matrice, problème que nous avons traité dans les questions précédentes. En effet, le rang d’un
morphisme est le même que le rang de sa matrice exprimée dans n’importe quelles
bases, au départ et à l’arrivée. Ici, nous utiliserons la base canonique de R 3 .
La matrice de l’endomorphisme f dans la base canonique de R 3 est
M =
0 −2 0
2 0 4
1 2 2
.
Nous allons calculer le rang de cette matrice en effectuant des opérations
élémentaires sur ses lignes.
Dans ce cas, nous ne pouvons pas utiliser le coefficient en haut à gauche de la
matrice comme pivot, puisque celui-ci est nul. Nous devons commencer par
échanger deux lignes pour amener un coefficient non nul dans cette position.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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