

1 2 −2
0 −1 4
0 −2 3

 L 2
L 2 − 3L 1
L 3
L 3 − 2L 1


1 2 −2
0 −1
4
0 0 −5


L 3
L 3 − 2L 2
La matrice M est de rang 3. On en déduit que la famille B est également de
rang 3. Puisqu’elle est composée de trois vecteurs et que R 3 est de dimension 3, on en déduit que la famille B est une base de R 3 .
2. Appliquons la même méthode qu’à la question précédente.
Considérons la matrice
N =




2 1 1
0
2
0 1 −1 1
1
−1 2 −3 −1 −2
1 1 0
0
1



 .
Nous allons calculer le rang de cette matrice en effectuant des opérations
élémentaires sur ses lignes.




2 1 1
0
2
0 1 −1 1
1
0
5
2 −
5
2 −1 −1
0
1
2 −
1
2
0
0



 L 3
L 3 +
1
2 L 1
L 4
L 4 −
1
2 L 1




2 1 1
0
2
0 1 −1 1
1
0 0 0 −
7
2 −
7
2
0 0 0 −
1
2 −
1
2



 L 3
L 3 −
5
2 L 2
L 4
L 4 −
1
2 L 2




2 1 1
0
2
0 1 −1 1
1
0 0 0 −
7
2 −
7
2
0 0 0
0
0




L 4
L 4 −
1
7 L 3
La matrice N est de rang 3. On en déduit que la famille C est de rang 3.
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Partie 3 • Algèbre
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−→
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−→
−→
−→
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