Exercice 13.4 : Calcul explicite de rang
1. Montrer que la famille
B = ((1,3,2),(2,5,2),(−2,−2,−1))
est une base de R 3 .
2. Calculer le rang de la famille de vecteurs de R 4 définie par
C = ((2,0,1,−1),(1,1,2,1),(1,−1,−3,0),(0,1,−1,0),(2,1,−2,1)) .
Extraire de cette famille une famille libre de rang maximal.
3. Soit f l’endomorphisme de R 3 défini par
f :
R 3
→
R 3
(x,y,z) → (−2y,2x + 4z,x + 2y + 2z)
.
Calculer le rang de l’endomorphisme f. Déterminer une base de son image et une
base de son noyau.
1. Il existe une méthode classique pour calculer le rang d’une famille F de vecteurs :
on considère la matrice dont les colonnes sont les vecteurs de la famille F et l’on se
ramène à une matrice triangulaire supérieure par la méthode du pivot de Gauβ, en
effectuant des opérations élémentaires sur les lignes. Le rang de la famille F est
alors égal au nombres de lignes non nulles de la matrice obtenue.
D’après la propriété (2), nous savons qu’une famille de trois vecteurs de R 3 est une
base si, et seulement si, elle est de rang trois. Nous pouvons donc appliquer la
méthode décrite ci-dessus.
Nous rappelons que les opérations élémentaires sur les lignes sont de trois sortes :
– L i
L i + α L j , avec i = / j ;
– L i ↔ L j ;
– L i
α L i avec α = / 0.
Lorsque l’on applique la méthode du pivot de Gauβ, on n’utilise jamais la dernière
opération.
Considérons la matrice
M =


1 2 −2
3 5 −2
2 2 −1

 .
Nous allons calculer le rang de cette matrice en effectuant des opérations
élémentaires sur ses lignes.
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Chapitre 13 • Algèbre linéraire en dimension finie
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