5. Nous souhaitons montrer que Ker( f p ) ⊕ Im( f p ) = E. Un raisonnement sur les
dimensions va nous permettre de nous ramener à une propriété plus simple à prouver. D’après le théorème du rang, appliqué à l’endomorphisme f p , nous avons, en
effet,
dim(Ker( f
p
)) + dim(Im( f
p
)) = dim(E).
D’après la propriété (7), il nous suffit donc de montrer que
Ker( f
p
) ∩ Im( f
p
) = {0}.
• Montrons, tout d’abord, que les espaces Ker( f p ) et Im( f p ) sont en
somme directe. Soit x un élément de Ker( f p ) ∩ Im( f p ). Puisque
x ∈ Im( f p ) , il existe y ∈ E tel que
x = f
p
(y).
Puisque x ∈ Ker( f p ) , on a
f
p
(x) = f
2 p
(y) = 0.
Par conséquent, y ∈ Ker( f 2 p ) . Or, par définition de p, on a
Ker( f
2 p
) = Ker( f
p
).
Nous avons donc f p (y) = x = 0. Nous venons de démontrer que
Ker( f
p
) ∩ Im( f
p
) = {0}.
• D’après le théorème du rang, appliqué à l’endomorphisme f p , nous avons,
en outre,
dim(Ker( f
p
)) + dim(Im( f
p
)) = dim(E).
On en déduit que
Ker( f
p
) ⊕ Im( f
p
) = E.
Exercice 13.3 : Indice de nilpotence
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n. Soit f un endomorphisme de
E. Nous supposerons que f est nilpotent, c’est-à-dire qu’il existe s ∈ N ∗ tel que
f s = 0 . On appelle indice de nilpotence de f l’entier r ∈ N ∗ défini par
r = min{s ∈ N
∗
| f
s
= 0}.
1. Soit x ∈ E \ Ker( f r−1 ). Montrer que la famille (x, f (x),. . . , f r−1 (x)) est libre.
2. En déduire que r n.
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Partie 3 • Algèbre
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