Ceci est absurde, car Ker( f l ) = Ker( f l−1 )(= Ker( f q )), par hypothèse.
Nous avons donc nécessairement l’égalité Ker( f l+1 ) = Ker( f q ) et la proposition H l+1 est vraie.
• Finalement, nous avons montré que, quel que soit l q, on a
Ker( f l ) = Ker( f q ) .
Nous souhaitons, à présent, montrer que p n. D’après le résultat précédent, s’il existe
l ∈ N tel que dim(Ker( f l+1 )) = dim(Ker( f l )) , alors la suite stationne à partir du rang
l, autrement dit, p l. Nous pouvons donc conclure dès qu’il existe l ∈ {0,. . . ,n} tel
que dim(Ker( f l+1 )) = dim(Ker( f l )) .
Que se passe-t-il si ce n’est pas le cas ? La suite (dim(Ker( f k ))) k∈N étant croissante,
nous avons alors nécessairement
dim(Ker( f
0
)) < dim(Ker( f
1
)) < · · · < dim(Ker( f
n
)).
Nous avons
dim(Ker( f
0
)) = dim(Ker(Id)) = dim({0}) = 0,
et
donc
dim(Ker( f 1 )) > 0 ,
c’est-à-dire
dim(Ker( f 1 )) 1 ,
puis
dim(Ker( f 2 )) > 1 , c’est-à-dire dim(Ker( f 1 )) 2, etc. En continuant ainsi, on
obtient dim(Ker( f n )) n et donc Ker( f n ) = E. La suite (Ker( f k )) k∈N étant croissante, nous avons nécessairement Ker( f k ) = E, quel que soit k n. On en déduit
que p n.
• Supposons, tout d’abord, qu’il existe l ∈ {0,. . . ,n} tel que
dim(Ker( f
l+1
)) = dim(Ker( f
l
)).
D’après le résultat précédent, nous avons alors Ker( f k ) = Ker( f l ), quel
que soit k l. En particulier, p l n.
• Dans le cas contraire, nous avons
0 = dim(Ker( f
0
)) < dim(Ker( f
1
)) < · · · < dim(Ker( f
n
)).
On en déduit immédiatement que, quel que soit l ∈ N, on a
dim(Ker( f
j
)) j.
En particulier, dim(Ker( f n )) n et donc Ker( f n ) = E . La suite
(Ker( f k )) k∈N étant croissante, nous avons nécessairement Ker( f k ) = E,
quel que soit k n. On en déduit que p n.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 13 • Algèbre linéraire en dimension finie
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