dim(Im( f l )) = n − dim(Ker( f l ))
= n − dim(Ker( f p ))
= dim(Im( f p )).
Or, d’après la question 1., nous avons Im( f l ) ⊂ Im( f p ). On en déduit
que
Im( f
l
) = Im( f
p
).
4. Par hypothèse, on a
dim(Ker( f
q
)) = dim(Ker( f
q+1
)).
D’après la question 1., nous avons également Ker( f q ) ⊂ Ker( f q+1 ). En utilisant la
propriété (5), on en déduit que Ker( f q ) = Ker( f q+1 ).
Nous voulons montrer que, quel que soit l q, on a Ker( f l ) = Ker( f q ) . Il est
naturel de chercher à démontrer cette égalité par récurrence.
Montrons, par récurrence, que, quel que soit l q + 1, la proposition
H l : « Ker( f l ) = Ker( f q ) »
est vraie.
• D’après la question 1., nous avons Ker( f q ) ⊂ Ker( f q+1 ). Par hypothèse,
ces espaces ont même dimension. On en déduit que Ker( f q ) = Ker( f q+1 ).
La proposition H q+1 est donc vraie.
• Soit l q + 1 tel que les propositions H q+1 ,. . . ,H l sont vraies. Nous
avons alors les égalités
Ker( f
l
) = Ker( f
l−1
) = · · · = Ker( f
q
).
D’après la question 1., nous avons Ker( f q ) ⊂ Ker( f l+1 ). Il nous reste à
montrer l’inclusion réciproque.
Raisonnons par l’absurde. Si elle était fausse il existerait un élément x de E
appartenant à Ker( f l+1 ), mais pas à Ker( f q ) = Ker( f l ) . Nous aurions
donc
f
l+1
(x) = 0 et f
l
(x) = / 0,
autrement dit
f
l
( f (x)) = 0 et f
l−1
( f (x)) = / 0.
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Partie 3 • Algèbre
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