On en déduit que x ∈ Ker( f k+1 ) . Par conséquent, nous avons
Ker( f k ) ⊂ Ker( f k+1 ) et la suite (Ker( f k )) k∈N est croissante.
Le raisonnement pour les images n’est pas plus difficile que le précédent.
Soit k ∈ N. Montrons que Im( f k ) ⊃ Im( f k+1 ). Soit y ∈ Im( f k+1 ) . Il
existe x ∈ E tel que y = f k+1 (x). Nous avons donc
y = f
k
( f (x)).
On en déduit que y ∈ Im( f k ). Par conséquent, nous avons
Im( f k ) ⊃ Im( f k+1 ) et la suite (Im( f k )) k∈N est décroissante.
2. Nous considérons ici une suite croissante d’espaces vectoriels de dimension finie.
D’après la propriété (5), la suite stationne si, et seulement si, la suite des dimensions
stationne. Or la suite des dimensions est majorée par dim(E) = n. Cela nous suffira
pour conclure.
• D’après la question précédente, la suite (Ker( f k )) k∈N est croissante. On
en déduit que la suite (dim(Ker( f k ))) k∈N est croissante.
• Quel que soit k ∈ N, Ker( f k ) est un sous-espace de E et donc
dim(Ker( f k )) n. La suite (dim(Ker( f k ))) k∈N est donc une suite d’entiers croissante et majorée. On en déduit qu’elle stationne :
∃l ∈ N, ∀k l, dim(Ker( f
k
)) = dim(Ker( f
l
)).
• Soit k l . Nous avons Ker( f k ) ⊃ Ker( f l ) et dim(Ker( f k )) =
dim(Ker( f l )). On en déduit que
Ker( f
k
) = Ker( f
l
).
Par conséquent, la suite (Ker( f k )) k∈N stationne.
3. Soit l p. Nous voulons montrer que Im( f l ) = Im( f p ). D’après la première
question, nous avons Im( f l ) ⊂ Im( f p ). D’après la propriété (5), il nous suffit donc
de montrer que dim(Im( f l )) = dim(Im( f p )). Par le théorème du rang, nous pouvons nous ramener à une égalité de dimensions de noyaux, ce que nous connaissons.
Soit l p. Nous avons Ker( f l ) = Ker( f p ). Par conséquent, nous avons
dim(Ker( f l )) = dim(Ker( f p )) . En appliquant le théorème du rang, on en
déduit que
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Chapitre 13 • Algèbre linéraire en dimension finie
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