D’après la propriété (7), pour obtenir l’égalité, il nous suffit de montrer que
dim(Ker( f )) + dim(Im( f )) = dim(E). D’après le théorème du rang, cette propriété est toujours vérifiée.
Or, d’après le théorème du rang, on a
dim(Ker( f )) + dim(Im( f )) = dim(E).
On en déduit que
Ker( f ) ⊕ Im( f ) = E.
Exercice 13.2 : Noyaux et images itérés
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n. Soit f un endomorphisme
de E.
1. Montrer que la suite (Ker( f k )) k∈N est croissante et que la suite (Im( f k )) k∈N
est décroissante.
2. Montrer que la suite (Ker( f k )) k∈N stationne.
3. Notons
p = min{k ∈ N | ∀l k, Ker( f
l
) = Ker( f
k
)}.
Montrer que, quel que soit l p, on a Im( f l ) = Im( f p ).
4. Soit q ∈ N tel que
dim(Ker( f
q
)) = dim(Ker( f
q+1
)).
Montrer que, quel que soit l q, on a Ker( f l ) = Ker( f q ) . En déduire que
p n.
5. Montrer que Ker( f p ) ⊕ Im( f p ) = E.
1. Pour montrer que la suite (Ker( f k )) k∈N est croissante, il faut montrer que, quel
que soit k ∈ N, nous avons
Ker( f
k
) ⊂ Ker( f
k+1
).
Cela se démontre sans peine.
Soit k ∈ N. Montrons que Ker( f k ) ⊂ Ker( f k+1 ). Soit x ∈ Ker( f k ). Nous
avons f k (x) = 0. En appliquant f aux deux membres de l’égalité, on obtient
f
k+1
(x) = f (0) = 0.
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Partie 3 • Algèbre
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