a ∈ Ker( f ) et b ∈ Im( f ) tels que y = a + b. En outre, il existe c ∈ E tel
que b = f (c). On en déduit que
x = f (a + f (c)) = f
2
(c) ∈ Im( f
2
).
Finalement, on a bien Im( f 2 ) = Im( f ).
2 ⇒ 3
Comme précédemment, l’une des deux inclusions est très simple.
Supposons que Im( f 2 ) = Im( f ). Montrons que Ker( f ) ⊂ Ker( f 2 ). Soit
x ∈ Ker( f ). Nous avons donc f (x) = 0. En composant par f, on obtient
f 2 (x) = f (0) = 0. On en déduit que x ∈ Ker( f 2 ). Par conséquent, nous
avons
Ker( f ) ⊂ Ker( f
2
).
Puisque nous disposons déjà d’une inclusion, d’après la propriété (5), pour
conclure, il nous suffit de démontrer l’égalité des dimensions de Ker( f 2 ) et Ker( f ).
Par hypothèse, nous avons Im( f 2 ) = Im( f ) et donc dim(Im( f 2 )) = dim(Im( f )) .
Nous allons pouvoir passer aux dimensions des noyaux en utilisant le théorème du
rang.
En outre, d’après le théorème du rang, on a
dim(Ker( f
2
)) = n − dim(Im( f
2
)) = n − dim(Im( f )) = dim(Ker( f )).
On en déduit que
Ker( f
2
) = Ker( f ).
3 ⇒ 1
Nous allons commencer par démontrer que Ker( f ) ∩ Im( f ) = {0}.
Supposons que Ker( f 2 ) = Ker( f ). Soit x ∈ Ker( f ) ∩ Im( f ). Il existe
y ∈ E tel que x = f (y). Puisque x ∈ Ker( f ), on a f (x) = f 2 (y) = 0.
Par conséquent, y ∈ Ker( f 2 ) = Ker( f ). On en déduit que x = f (y) = 0 .
Nous venons de démontrer que
Ker( f ) ∩ Im( f ) = {0}.
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Chapitre 13 • Algèbre linéraire en dimension finie
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