Réciproquement, supposons que dim(F) + dim(G) = n. Alors
(7) F ⊕ G = E ⇐⇒ F ∩ G = {0}
et
(8) F ⊕ G = E ⇐⇒ F + G = E.
Ces résultats propres à la dimension finie sont très importants et nous permettront
de résoudre de nombreux exercices.
Exercice 13.1 : Images et noyaux II
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n. Soit f un endomorphisme de
E. Démontrer les équivalences suivantes
Ker( f ) ⊕ Im( f ) = E ⇐⇒ Im( f
2
) = Im( f ) ⇐⇒ Ker( f
2
) = Ker( f ).
Cet exercice ressemble beaucoup à l’exercice 12.2. Cependant, nous allons voir
qu’en utilisant le fait que l’espace E est de dimension finie, on peut grandement
simplifier les démonstrations.
Pour chaque implication que nous démontrons, nous commençons par utiliser des
arguments identiques à ceux de l’exercice 12.2. Ce n’est qu’à la fin qu’un argument
de dimension nous permet de démontrer plus facilement que deux espaces sont
égaux ou supplémentaires.
Nous démontrerons, dans l’ordre, les implications, 1 ⇒ 2, 2 ⇒ 3 et 3 ⇒ 1.
1 ⇒ 2
L’une des deux inclusions est très simple.
Supposons que Ker( f ) ⊕ Im( f ) = E . Montrons que Im( f 2 ) ⊂ Im( f ).
Soit x ∈ Im( f 2 ). Il existe y ∈ E tel que x = f 2 (y). Nous avons donc
x = f ( f (y)) et donc x ∈ Im( f ).
Ici, nous ne voyons pas comment utiliser un argument de dimension pour conclure.
Nous ne disposons, en effet, d’aucune information sur la dimension de l’espace
Im( f 2 ). Nous allons donc démontrer directement l’inclusion réciproque.
Démontrons l’inclusion réciproque. Soit x ∈ Im( f ). Il existe y ∈ E tel que
x = f (y). Par hypothèse, Ker( f ) + Im( f ) = E , donc il existe
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Partie 3 • Algèbre
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