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Dans ce chapitre, K désignera R ou C.
L’étude des espaces vectoriels de dimension finie est bien plus simple que celle des
espaces vectoriels généraux. Cela tient, en particulier, au fait que certaines propriétés des espaces se testent simplement en comparant des dimensions. Dans certains
cas bien précis, nous pourrons donc ramener l’étude de certaines propriétés peu évidentes (égalités d’espaces, sommes directes, etc.), à une comparaison de nombres
entiers, bien plus élémentaire.
Rappelons, ici, quelques-unes de ces propriétés fort utiles. Nous fixons un corps K,
un entier n ∈ N et un K-espace vectoriel E de dimension n.
Soit f = ( f 1 ,. . . , f n ) une famille de E composée de n vecteurs. Alors
(1) la famille f est une base de E ⇐⇒ la famille f est libre
et
(2) la famille f est une base de E ⇐⇒ la famille f engendre E.
Soient E 0 un K-espace vectoriel de dimension n et ϕ une application linéaire de E
dans E 0 . Alors
(3) l’application ϕ est un isomorphisme ⇐⇒ Ker(ϕ) = {0}
et
(4) l’application ϕ est un isomorphisme ⇐⇒ Im(ϕ) = E 0 .
Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E tels que F ⊂ G. Alors
(5) F = G ⇐⇒ dim(F) = dim(G).
Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E. Commençons par rappeler une
implication bien utile :
(6) F ⊕ G = E ⇒ dim(F) + dim(G) = n.
Algèbre linéaire
en dimension finie
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