1. Nous devons montrer que la famille (x, f (x),. . . , f r−1 (x)) est libre. La façon de
procéder dans ce genre de cas est classique : on considère une famille (λ 0 ,. . . ,λ r−1 )
d’éléments de K vérifiant
λ 0 x + · · · + λ r−1 f
r−1
(x) = 0
et l’on cherche à montrer que λ 0 = · · · = λ r−1 = 0 .
Nous disposons, pour le moment, d’une seule relation : λ 0 x + · · · + λ r−1 f r−1 (x) = 0
et d’une seule hypothèse : f r = 0. La seule façon d’utiliser l’hypothèse est visiblement
d’appliquer l’endomorphisme f à la relation. On obtient
λ 0 f (x) + · · · + λ r−2 f
r−1
(x) + λ r−1 f
r
(x) = 0,
soit
λ 0 f (x) + · · · + λ r−2 f
r−1
(x) = 0.
Nous sommes parvenus à faire disparaître l’un des coefficients et à obtenir une relation mettant en jeu uniquement λ 0 ,. . . ,λ r−2 . En appliquant f de façon répétée, nous
pouvons faire disparaître, un à un, tous les coefficients jusqu’à obtenir une relation
ne contenant que le coefficient λ 0 . Nous pourrons alors en déduire que λ 0 = 0. La
relation de départ s’écrira alors
λ 1 f (x) + · · · + λ r−1 f
r−1
(x) = 0.
Nous pouvons alors reprendre le même raisonnement : en composant par f un
nombre suffisant de fois, nous montrerons que λ 0 = 0, etc. Afin de rédiger cela proprement, nous allons mettre en œuvre une récurrence.
Soit (λ 0 ,. . . ,λ r−1 ) ∈ K r vérifiant
(R) λ 0 x + · · · + λ r−1 f
r−1
(x) = 0.
Montrons par récurrence que, quel que soit l ∈ {0,. . . ,r − 1} , la proposition
H l : « λ l = 0 »
est vraie.
• Quel que soit s r, on a
f
s
= f
s−r
◦ f
r
= 0.
Par conséquent, en appliquant l’endomorphisme f r−1 à la relation (R), on
obtient
λ 0 f
r−1
(x) = 0.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 13 • Algèbre linéraire en dimension finie
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