Montrons, à présent, que l’endomorphisme ψ est surjectif. Soit Q un élément de K[X]. Il possède une écriture sous la forme
Q(X) =
d
i=0
a i X
i
,
où a i ∈ K, quel que soit i ∈ {0,. . . ,d}. Posons
P(X) =
d
i=0
a i
i + 1
X
i+1
.
On vérifie immédiatement, que l’on a bien ψ(P) = P = Q.
Il nous reste à montrer que l’endomorphisme ψ n’est pas injectif. Pour cela, il nous
suffit de montrer que son noyau n’est pas réduit à {0}. Dans notre cas, ce problème
est très simple puisque tous les polynômes constants sont envoyés sur 0 par l’application de dérivation ψ.
Montrons, à présent, que l’endomorphisme ψ n’est pas injectif. Il nous suffit, pour cela, d’observer que ψ(1) = 0 .
Les résultats que nous venons de démontrer sont propres aux espaces vectoriels de
dimension infinie. En effet, rappelons que si E désigne un K-espace vectoriel de
dimension finie et f un endomorphisme de E, on a les équivalences
f est injectif ⇐⇒ f est surjectif ⇐⇒ f est bijectif.
Ainsi retrouvons-nous, en particulier, le fait que l’espace vectoriel K[X] est de
dimension infinie.
Exercice 12.5 : Familles libres
Soit E l’espace vectoriel des fonctions continues de R dans R. Quel que soit
k ∈ N, nous définissons deux éléments c k et e k de E par
c k :
R →
R
x → cos(kx)
et
e k :
R → R
x → e kx .
1. Soit n ∈ N. Montrer que la famille (c 0 ,. . . ,c n ) est libre.
2. Soit n ∈ N. Montrer que la famille (e 0 ,. . . ,e n ) est libre.
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Partie 3 • Algèbre
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