Montrons, à présent, que l’endomorphisme ϕ est injectif. Soit P ∈ Ker(ϕ).
On a alors X P(X) = 0. Puisque le polynôme X n’est pas nul, on a nécessairement P(X) = 0.
Il nous reste à montrer que l’endomorphisme ϕ n’est pas surjectif, autrement dit que
certains polynômes de K[X] n’appartiennent pas à l’image de ϕ. Une bonne façon
de procéder est de chercher une propriété que vérifient tous les éléments de l’image.
Dans notre cas, les éléments Q(X) de l’image sont de la forme Q(X) = X P(X) ,
avec P ∈ K[X]. On observe que l’on a nécessairement Q(0) = 0. Il est clair que
tous les éléments de K[X] ne vérifient pas tous cette propriété.
Montrons, à présent, que l’endomorphisme ϕ n’est pas surjectif. Plus précisément, nous allons montrer que le polynôme 1 n’appartient pas à l’image
de ϕ. En effet, supposons qu’il existe P ∈ K[X] tel que
ϕ(P) = X P(X) = 1 . En prenant la valeur en 0 de ces deux polynômes,
nous obtiendrions 1 = 0, ce qui est absurde.
2. Comme précédemment, nous allons commencer par montrer que ϕ est un endomorphisme.
Montrons, tout d’abord, que l’application ψ est bien linéaire.
• Soient P,Q ∈ K[X]. On a
ψ(P + Q) = (P + Q)
= P + Q
= ψ(P) + ψ(Q).
• Soient P ∈ K[X] et λ ∈ k. On a
ψ(λP) = (λP)
= λP
= λψ(X).
On en déduit que l’application ψ est un endomorphisme de K[X].
Nous devons ensuite montrer que l’endomorphisme ψ est surjectif. Pour cela, on
procède toujours de la même manière. On fixe un élément Q de l’espace vectoriel
d’arrivée K[X] et on cherche un élément P de l’espace de départ K[X] qui est
envoyé par ψ sur Q. Dans notre cas, l’application ψ est la dérivation. Nous devons
donc trouver une primitive du polynôme Q, ce qui peut se faire explicitement.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 12 • Algèbre linéraire
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