car p ◦ q = 0, d’après la question précédente. On en déduit que
x ∈ Ker( p). On montre de même que x ∈ Ker(q) et l’on en déduit finalement que Ker( p + q) = Ker( p) ∩ Ker(q) .
Exercice 12.4 : L’espace vectoriel des polynômes
Dans cet exercice, nous nous intéresserons à l’espace vectoriel K[X] des polynômes à coefficients dans K.
1. Montrer que l’application
ϕ :
K[X] → K[X]
P(X) → X P(X)
est un endomorphisme de K[X] injectif mais pas surjectif.
2. Montrer que l’application
ψ :
K[X] → K[X]
P(X) → P (X)
est un endomorphisme de K[X] surjectif mais pas injectif.
1. La première étape consiste à montrer que ϕ est un endomorphisme.
Montrons, tout d’abord, que l’application ϕ est bien linéaire.
• Soient P,Q ∈ K[X]. On a
ϕ(P + Q) = X (P + Q)(X)
= X P(X) + X Q(X)
= ϕ(P) + ϕ(Q).
• Soient P ∈ K[X] et λ ∈ K . On a
ϕ(λP) = XλP(X)
= λX P(X)
= λϕ(X).
On en déduit que l’application ϕ est un endomorphisme de K[X].
Continuons en montrant que l’endomorphisme ϕ est injectif. Pour ce problème, on
raisonne toujours de la même façon : on montre que le noyau de l’endomorphisme
ϕ est nul.
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Partie 3 • Algèbre
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