Essayons avec x : on a ( p + q)(x) = ( p + q)( p(y)) = p 2 (y) + q ◦ p(y)
= p(y) = x. C’est le résultat que nous cherchions.
Réciproquement, montrons que Im( p) + Im(q) ⊂ Im( p + q). Il suffit de
démontrer que Im( p) ⊂ Im( p + q) et que Im(q) ⊂ Im( p + q). Soit
x ∈ Im( p). Il existe y ∈ E tel que x = p(y). On en déduit que
( p + q)(x) = ( p + q)( p(y)) = p
2
(y) + q ◦ p(y) = p(y) = x,
car q ◦ p = 0, d’après la question précédente. On en déduit que
Im( p) ⊂ Im( p + q). On montre de même que Im(q) ⊂ Im( p + q) et l’on
en déduit que Im( p + q) = Im( p) + Im(q).
Seconde égalité
Démontrons, à présent, l’égalité Ker( p + q) = Ker( p) ∩ Ker(q) .
• Première inclusion
Nous allons commencer par l’inclusion Ker( p) ∩ Ker(q) ⊂ Ker( p + q) . Il n’y a
pas à réfléchir pour cette étape : on traduit simplement les différentes conditions
d’appartenance.
Démontrons, à présent, l’égalité Ker( p + q) = Ker( p) ∩ Ker(q) . Soit
x ∈ Ker( p) ∩ Ker(q). Par définition, on a p(x) = q(x) = 0, d’où
( p + q)(x) = 0. On en déduit que Ker( p) ∩ Ker(q) ⊂ Ker( p + q) .
Remarquons que cette inclusion reste vraie si l’on remplace p et q par n’importe
quels endomorphismes de E.
• Seconde inclusion
Il nous reste à démontrer l’inclusion réciproque : Ker( p + q) ⊂ Ker( p) ∩ Ker(q) .
Pour cela, on fixe x ∈ Ker( p + q) , on retraduit cette appartenance par
( p + q)(x) = 0 et l’on cherche, en manipulant cette égalité, à montrer que
x ∈ Ker( p) ∩ Ker(q), autrement dit, que p(x) = q(x) = 0.
Démontrons l’inclusion réciproque. Soit x ∈ Ker( p + q). On a
( p + q)(x) = 0. En appliquant p aux deux membres de l’égalité, on obtient
p(( p + q)(x)) = p
2
(x) + p ◦ q(x) = p(x) = 0,
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Chapitre 12 • Algèbre linéraire
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