En additionnant (1) et (4), on obtient 2 p ◦ q = 0. En les soustrayant, on
obtient 2q ◦ p = 0. On en déduit finalement que
p ◦ q = q ◦ p = 0.
2. Nous devons démontrer deux égalités. Nous raisonnerons à chaque fois en
démontrant deux inclusions.
Première égalité
• Première inclusion
Commençons par démontrer que Im( p + q) ⊂ Im( p) + Im(q). Pour débuter cette
preuve, il n’y a pas à réfléchir : on fixe un élément x de Im( p + q) et on traduit la
condition d’appartenance. Écrivons-le directement.
Démontrons, tout d’abord, l’égalité Im( p + q) = Im( p) + Im(q) .
Commençons par montrer que l’on a Im( p + q) ⊂ Im( p) + Im(q). Soit
x ∈ Im( p + q). Alors il existe y ∈ E tel que
x = ( p + q)(y) = p(y) + q(y).
Puisque p(y) ∈ Im( p) et que q(y) ∈ Im(q), on a bien x ∈ Im( p) + Im(q).
Cette première inclusion provient directement des définitions et reste vraie si l’on
remplace p et q par n’importe quels endomorphismes de E. C’est pour démontrer
l’inclusion réciproque que nous aurons besoin d’utiliser l’hypothèse que p + q est
un projecteur. Grâce à la question précédente, nous savons que cela signifie que
p ◦ q = q ◦ p = 0.
• Seconde inclusion
Nous voulons, à présent, démontrer l’inclusion réciproque : Im( p) + Im(q)
⊂ Im( p + q). Il suffit de démontrer que Im( p) ⊂ Im( p + q) et que
Im(q) ⊂ Im( p + q). Commençons par la première. Soit x ∈ Im( p). Traduisons
cette appartenance : il existe y ∈ E tel que x = p(y).
Nous chercherons à montrer que x ∈ Im( p + q), autrement dit, à écrire l’élément x
sous la forme ( p + q)(z), avec z ∈ E. Nous ne connaissons que deux éléments particuliers de E : y et x. Ce sont nos meilleurs candidats pour z. Nous allons les
essayer tous les deux.
Commençons par y. Malheureusement, nous ne possédons aucune information sur
( p + q)(y) = p(y) + q(y).
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Partie 3 • Algèbre
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obtient 2q ◦ p = 0. On en déduit finalement que
p ◦ q = q ◦ p = 0.
2. Nous devons démontrer deux égalités. Nous raisonnerons à chaque fois en
démontrant deux inclusions.
Première égalité
• Première inclusion
Commençons par démontrer que Im( p + q) ⊂ Im( p) + Im(q). Pour débuter cette
preuve, il n’y a pas à réfléchir : on fixe un élément x de Im( p + q) et on traduit la
condition d’appartenance. Écrivons-le directement.
Démontrons, tout d’abord, l’égalité Im( p + q) = Im( p) + Im(q) .
Commençons par montrer que l’on a Im( p + q) ⊂ Im( p) + Im(q). Soit
x ∈ Im( p + q). Alors il existe y ∈ E tel que
x = ( p + q)(y) = p(y) + q(y).
Puisque p(y) ∈ Im( p) et que q(y) ∈ Im(q), on a bien x ∈ Im( p) + Im(q).
Cette première inclusion provient directement des définitions et reste vraie si l’on
remplace p et q par n’importe quels endomorphismes de E. C’est pour démontrer
l’inclusion réciproque que nous aurons besoin d’utiliser l’hypothèse que p + q est
un projecteur. Grâce à la question précédente, nous savons que cela signifie que
p ◦ q = q ◦ p = 0.
• Seconde inclusion
Nous voulons, à présent, démontrer l’inclusion réciproque : Im( p) + Im(q)
⊂ Im( p + q). Il suffit de démontrer que Im( p) ⊂ Im( p + q) et que
Im(q) ⊂ Im( p + q). Commençons par la première. Soit x ∈ Im( p). Traduisons
cette appartenance : il existe y ∈ E tel que x = p(y).
Nous chercherons à montrer que x ∈ Im( p + q), autrement dit, à écrire l’élément x
sous la forme ( p + q)(z), avec z ∈ E. Nous ne connaissons que deux éléments particuliers de E : y et x. Ce sont nos meilleurs candidats pour z. Nous allons les
essayer tous les deux.
Commençons par y. Malheureusement, nous ne possédons aucune information sur
( p + q)(y) = p(y) + q(y).
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