Supposons que p ◦ q = q ◦ p = 0. On a alors
( p + q) 2 = p 2 + p ◦ q + q ◦ p + q 2
= p + q,
car p et q sont des projecteurs. On en déduit que p + q est un projecteur.
Pour démontrer l’implication réciproque, nous allons supposer que p + q est un projecteur. Nous devons alors montrer que p ◦ q = q ◦ p = 0. On a ( p + q) 2 = p + q,
d’où p + q + p ◦ q + q ◦ p = p + q et donc p ◦ q + q ◦ p = 0.
Nous avons retraduit l’hypothèse en une formule reliant p et q. Nous allons manipuler cette formule afin d’en obtenir d’autres en utilisant les seules égalités dont
nous disposons : p 2 = p et q 2 = q. Pour faire apparaître des termes de la forme p 2
ou q 2 , nous pouvons composer l’égalité par p ou par q, à gauche ou à droite. Afin
de rendre la rédaction la plus propre possible, nous conseillons au lecteur d’écrire
toutes les égalités obtenues au brouillon, puis de les combiner afin d’arriver à la
solution. Dans la rédaction finale, on ne conservera que les égalités qui nous ont
effectivement servi.
Réciproquement, supposons que p + q est un projecteur. On a
p + q = ( p + q) 2
= p 2 + p ◦ q + q ◦ p + q 2
= p + p ◦ q + q ◦ p + q.
On en déduit que
(1)
p ◦ q + q ◦ p = 0.
En composant par p à gauche, on obtient p 2 ◦ q + p ◦ q ◦ p = 0 , c’est-àdire
(2)
p ◦ q + p ◦ q ◦ p = 0.
En composant l’égalité (1) par p à droite, on obtient p ◦ q ◦ p+q ◦ p 2 = 0,
soit
(3)
p ◦ q ◦ p + q ◦ p = 0.
En soustrayant les égalités (2) et (3), on trouve
(4)
p ◦ q − q ◦ p = 0.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 12 • Algèbre linéraire
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