À ce stade de l’exercice, nous devons utiliser l’hypothèse Ker( f ) + Im( f ) = E .
Elle nous permettra de décomposer un élément de E bien choisi sous la forme a + b
avec a ∈ Ker( f ) et b ∈ Im( f ). Quel élément choisir ? Nous n’avons en fait que
deux possibilités : les éléments x et y. Le vecteur x appartient à l’image de f et il
est donc déjà sous cette forme (il suffit de l’écrire x = 0 + x , puisque 0 ∈ Ker( f )
et x ∈ Im( f )). Il est donc naturel de chercher à décomposer y.
Utilisons l’hypothèse Ker( f ) + Im( f ) = E : il existe a ∈ Ker( f ) et
b ∈ Im( f ) tels que y = a + b. Il existe c ∈ E tel que b = f (c).
Réinjectons, à présent, ces éléments dans l’égalité x = f (y). On obtient
x = f (a + f (c)) = f (a) + f ( f (c)) = f ( f (c)),
car a ∈ Ker( f ). On en déduit que x ∈ Im( f 2 ). Nous venons de démontrer
l’inclusion voulue et, finalement, l’égalité Im( f 2 ) = Im( f ).
Exercice 12.3 : Somme de projecteurs
Soit E un espace vectoriel sur K. Soient p et q deux projecteurs de E.
1. Montrer que p + q est un projecteur si, et seulement si, p ◦ q = q ◦ p = 0.
2. Supposons que p + q est un projecteur. Montrer que Im( p + q) =
Im( p) + Im(q) et que Ker( p + q) = Ker( p) ∩ Ker(q) .
1. Rappelons, tout d’abord, qu’un endomorphisme f de E est un projecteur si, et
seulement si, il vérifie l’égalité f 2 = f. En particulier, on a p 2 = p et q 2 = q.
L’exercice nous propose de nous intéresser au fait que p + q soit un projecteur.
Calculons donc ( p + q) 2 : on a
( p + q) 2 = ( p + q) ◦ ( p + q) = p 2 + p ◦ q + q ◦ p + q 2
= p + q + p ◦ q + q ◦ p.
On pourrait être tenté, par analogie avec l’identité remarquable que l’on connaît
par exemple dans R ou dans C, d’écrire ( p + q) 2 = p 2 + q 2 + 2 p ◦ q . Cette formule est en général fausse dans un anneau, car les éléments p et q n’ont aucune
raison de commuter. Nous n’avons pas d’autre choix que de développer la formule
terme à terme.
Passons maintenant à la résolution de l’exercice. On nous demande de démontrer
une équivalence : nous allons donc raisonner en démontrant deux implications. Au
vu de la formule précédente, l’un des deux sens de l’équivalence est très simple.
Rédigeons-le.
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Partie 3 • Algèbre
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Elle nous permettra de décomposer un élément de E bien choisi sous la forme a + b
avec a ∈ Ker( f ) et b ∈ Im( f ). Quel élément choisir ? Nous n’avons en fait que
deux possibilités : les éléments x et y. Le vecteur x appartient à l’image de f et il
est donc déjà sous cette forme (il suffit de l’écrire x = 0 + x , puisque 0 ∈ Ker( f )
et x ∈ Im( f )). Il est donc naturel de chercher à décomposer y.
Utilisons l’hypothèse Ker( f ) + Im( f ) = E : il existe a ∈ Ker( f ) et
b ∈ Im( f ) tels que y = a + b. Il existe c ∈ E tel que b = f (c).
Réinjectons, à présent, ces éléments dans l’égalité x = f (y). On obtient
x = f (a + f (c)) = f (a) + f ( f (c)) = f ( f (c)),
car a ∈ Ker( f ). On en déduit que x ∈ Im( f 2 ). Nous venons de démontrer
l’inclusion voulue et, finalement, l’égalité Im( f 2 ) = Im( f ).
Exercice 12.3 : Somme de projecteurs
Soit E un espace vectoriel sur K. Soient p et q deux projecteurs de E.
1. Montrer que p + q est un projecteur si, et seulement si, p ◦ q = q ◦ p = 0.
2. Supposons que p + q est un projecteur. Montrer que Im( p + q) =
Im( p) + Im(q) et que Ker( p + q) = Ker( p) ∩ Ker(q) .
1. Rappelons, tout d’abord, qu’un endomorphisme f de E est un projecteur si, et
seulement si, il vérifie l’égalité f 2 = f. En particulier, on a p 2 = p et q 2 = q.
L’exercice nous propose de nous intéresser au fait que p + q soit un projecteur.
Calculons donc ( p + q) 2 : on a
( p + q) 2 = ( p + q) ◦ ( p + q) = p 2 + p ◦ q + q ◦ p + q 2
= p + q + p ◦ q + q ◦ p.
On pourrait être tenté, par analogie avec l’identité remarquable que l’on connaît
par exemple dans R ou dans C, d’écrire ( p + q) 2 = p 2 + q 2 + 2 p ◦ q . Cette formule est en général fausse dans un anneau, car les éléments p et q n’ont aucune
raison de commuter. Nous n’avons pas d’autre choix que de développer la formule
terme à terme.
Passons maintenant à la résolution de l’exercice. On nous demande de démontrer
une équivalence : nous allons donc raisonner en démontrant deux implications. Au
vu de la formule précédente, l’un des deux sens de l’équivalence est très simple.
Rédigeons-le.
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Partie 3 • Algèbre
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