1. Par définition d’une famille libre, nous devons montrer que, quels que soient
u 0 ,. . . ,u n ∈ R vérifiant la relation
n
k=0
u k c k = 0,
on a u 0 = · · · = u n = 0.
Dans la situation précédente, comment procéder pour montrer que
u 0 = · · · = u n = 0 ? Nous disposons, par hypothèse, d’une relation entre les u k :
n
k=0
u k c k = 0.
Nous allons chercher à manipuler cette relation afin d’en obtenir de nouvelles, en
espérant qu’elles nous permettront, sinon de résoudre, du moins de simplifier le problème.
De nombreuses possibilités s’offrent à nous : nous pouvons composer par des fonctions à gauche ou à droite, prendre les valeurs en certains points, calculer des
limites, des périodicités, etc. Il existe plusieurs façons de résoudre ce problème,
mais nous allons essayer d’en trouver une aussi simple que possible.
Avant de manipuler l’équation, il est utile de se demander quelles sont les propriétés vérifiées par les fonctions c k . Elles sont paires, mais nous n’obtiendrons aucune
nouvelle relation en utilisant cette propriété. Ces fonctions sont périodiques, mais
on voit mal comment en tirer une nouvelle relation. En revanche, nous obtiendrons
une information intéressante à partir de la dérivation. Pour tout indice k, on a
c
k = −k 2 c k . En dérivant deux fois la relation
(1)
n
k=0
u k c k = 0,
nous obtenons
(2) −
n
k=0
u k k
2 c k = 0.
Nous sommes parvenus à obtenir une nouvelle relation (2), proche de la première.
Rendons-les plus proches encore en multipliant la relation (1) par n 2 :
(3)
n
k=0
u k n
2 c k = 0.
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Chapitre 12 • Algèbre linéraire
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