Montrons, à présent, que P + I = E . Soit f ∈ E. Soient g et h les fonctions de E définies par
g :
R →
R
x →
f (x) + f (−x)
2
et
h :
R →
R
x →
f (x) − f (−x)
2
.
Quel que soit x ∈ R, on a
g(−x) =
f (−x) + f (x)
2
= g(x)
et
h(−x) =
f (−x) − f (x)
2
= −h(x).
Par conséquent, g ∈ P et h ∈ I.
En outre, quel que soit x ∈ R, on a
g(x) + h(x) =
f (x) + f (−x)
2
+
f (x) − f (−x)
2
= f (x).
On en déduit que f = g + h. Nous avons montré que P + I = E et donc,
finalement, que P ⊕ I = E.
Exercice 12.2 : Images et noyaux I
Soit E un espace vectoriel sur K. Soit f un endomorphisme de E. Montrer que
les équivalences suivantes sont vraies.
1. Ker( f 2 ) = Ker( f ) ⇐⇒ Ker( f ) ∩ Im( f ) = {0}
2. Im( f 2 ) = Im( f ) ⇐⇒ Ker( f ) + Im( f ) = E
Cet exercice n’est pas difficile. Il s’agit simplement de se souvenir des définitions
vues en cours et de les appliquer. Aucune astuce n’est requise. Nous allons volontairement proposer une correction très détaillée. À chaque question, nous devons
montrer l’équivalence entre deux égalités. Nous décomposerons chaque équivalence en deux implications et chaque égalité en deux inclusions.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 12 • Algèbre linéraire
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