Au préalable, rappelons les deux traductions suivantes qu’il est indispensable de
connaître : si g désigne un endomorphisme de E et y un élément de E, on a
y ∈ Ker(g) ⇐⇒ g(y) = 0
et
y ∈ Im(g) ⇐⇒ ∃z ∈ E, y = g(z).
1. Première implication
• Première égalité
L’une des deux inclusions formant l’égalité est évidente.
Supposons que Ker( f 2 ) = Ker( f ). L’inclusion Ker( f ) ∩ Im( f ) ⊃ {0} est
claire. En effet, puisque Ker( f ) et Im( f ) sont des sous-espaces vectoriels
de E, on a 0 ∈ Ker( f ) et 0 ∈ Im( f ). On en déduit que
0 ∈ Ker( f ) ∩ Im( f ) .
• Seconde égalité
Pour finir la démonstration de la première implication, il nous reste à prouver que
Ker( f ) ∩ Im( f ) ⊂ {0}. Soit donc un élément x de Ker( f ) ∩ Im( f ). Nous voulons
montrer qu’il est nul. Nous disposons de deux informations :
x ∈ Ker( f ) et x ∈ Im( f ),
autrement dit,
f (x) = 0 et ∃y ∈ E, x = f (y).
En les combinant, on obtient f ( f (y)) = 0, ce que l’on traduit immédiatement par
y ∈ Ker( f 2 ). Or, nous avons supposé que Ker( f 2 ) = Ker( f ). On en déduit que
y ∈ Ker( f ). Par conséquent, f (y) = 0, c’est-à-dire x = 0. C’est ce que nous voulions démontrer. Répétons ce raisonnement de manière plus concise.
Il nous reste à prouver que Ker( f ) ∩ Im( f ) ⊂ {0}. Soit
x ∈ Ker( f ) ∩ Im( f ). Puisque x ∈ Im( f ), il existe y ∈ E tel que
x = f (y). Puisque x ∈ Ker( f ), on a
0 = f (x) = f ( f (y)).
On en déduit que y ∈ Ker( f 2 ) = Ker( f ) et donc que x = f (y) = 0 .
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Partie 3 • Algèbre
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