2. Cette deuxième question en recouvre deux : nous devons montrer que les espaces
P et I sont en somme directe, autrement dit, que
P ∩ I = {0}
et que leur somme est égale à E, autrement dit, que
P + I = E.
Somme directe
Nous allons commencer par montrer que les espaces sont en somme directe. Il suffit pour cela de montrer que P ∩ I = {0} .
Pour commencer, montrons que les espaces P et I sont en somme directe.
Soit f ∈ P ∩ I . Soit x ∈ R. On a f (x) = f (−x), car f ∈ P, mais
aussi f (x) = − f (−x) , car f ∈ I. On en déduit, en ajoutant les deux égalités, que 2 f (x) = 0 et donc que f (x) = 0. Nous venons de montrer
que f est la fonction nulle. On en déduit que P ∩ I = {0} , ce qu’il fallait
démontrer.
Somme des espaces
Il nous reste à montrer que P + I = E . Autrement dit, nous devons montrer que
tout élément f de E se décompose sous la forme f = g + h, avec g ∈ P et h ∈ I.
Dans ce genre de cas, on raisonne par analyse et synthèse. Soit f ∈ E. Supposons
que la fonction f s’écrive sous la forme f = g + h, avec g ∈ P et h ∈ I. Alors, quel
que soit x ∈ R, on a
f (x) = g(x) + h(x)
et
f (−x) = g(−x) + h(−x) = g(x) − h(x).
On en déduit que g(x) = ( f (x) + f (−x))/2 et h(x) = ( f (x) − f (−x))/2 .
L’étape d’analyse est terminée.
Nous allons rédiger directement l’étape de synthèse. Insistons une nouvelle fois :
l’étape d’analyse doit être faite au brouillon et seule l’étape de synthèse figure dans
la rédaction finale.
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Partie 3 • Algèbre
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