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© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Dans ce chapitre, K désignera R ou C.
Exercice 12.1 : Fonctions paires et fonctions impaires
Soit E l’espace vectoriel des fonctions continues de R dans R. Notons P l’ensemble des fonctions paires de E et I l’ensemble des fonctions impaires de E.
1. Montrer que les ensembles P et I, munis des structures induites par celle de
E, sont des sous-espaces vectoriels de E.
2. Montrer qu’on a l’égalité P ⊕ I = E.
1. On applique ici la définition du cours pour montrer qu’un espace est un sousespace vectoriel d’un autre.
Montrons, tout d’abord, que P est un sous-espace vectoriel de E.
• La fonction nulle est paire. On a donc 0 ∈ P.
• Soient f,g ∈ P. Quel que soit x ∈ R, on a
( f + g)(−x) = f (−x) + g(−x) = f (x) + g(x) = ( f + g)(x),
car f et g sont paires. On en déduit que f + g ∈ P .
• Soit f ∈ P et λ ∈ R. Quel que soit x ∈ R, on a
(λ f )(−x) = λ f (−x) = λ f (x) = (λ f )(x),
car f est paire. On en déduit que λ f ∈ P.
Nous avons montré que P est un sous-espace vectoriel de E.
Un raisonnement similaire montre que I est un sous-espace vectoriel de E.
Algèbre linéaire
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Dans ce chapitre, K désignera R ou C.
Exercice 12.1 : Fonctions paires et fonctions impaires
Soit E l’espace vectoriel des fonctions continues de R dans R. Notons P l’ensemble des fonctions paires de E et I l’ensemble des fonctions impaires de E.
1. Montrer que les ensembles P et I, munis des structures induites par celle de
E, sont des sous-espaces vectoriels de E.
2. Montrer qu’on a l’égalité P ⊕ I = E.
1. On applique ici la définition du cours pour montrer qu’un espace est un sousespace vectoriel d’un autre.
Montrons, tout d’abord, que P est un sous-espace vectoriel de E.
• La fonction nulle est paire. On a donc 0 ∈ P.
• Soient f,g ∈ P. Quel que soit x ∈ R, on a
( f + g)(−x) = f (−x) + g(−x) = f (x) + g(x) = ( f + g)(x),
car f et g sont paires. On en déduit que f + g ∈ P .
• Soit f ∈ P et λ ∈ R. Quel que soit x ∈ R, on a
(λ f )(−x) = λ f (−x) = λ f (x) = (λ f )(x),
car f est paire. On en déduit que λ f ∈ P.
Nous avons montré que P est un sous-espace vectoriel de E.
Un raisonnement similaire montre que I est un sous-espace vectoriel de E.
Algèbre linéaire
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