• En conclusion, H n est vraie pour tout n ∈ N, i.e. :
∀n ∈ N,n
p
≡ n[ p].
Pour traiter le cas où n < 0 on se ramène au cas précédent en considérant −n.
Soit n ∈ Z. Si n 0, le résultat est acquis. Si n < 0, alors −n > 0 et le
résultat précédent appliqué à −n donne :
(−n)
p
≡ −n[ p].
Or p est impair donc (−n) p = −n p , d’où le résultat :
n
p
≡ n[ p].
3. On ne peut pas se contenter de dire « simplifions la congruence par n » car ce
type de calcul n’est en général pas licite.
Par exemple, on a 2 × 2 ≡ 2 × 0[4] mais 2 n’est pourtant pas congru à 0 modulo 4.
Il va donc falloir revenir à la définition des congruences et exploiter correctement
les deux hypothèses : p est premier et ne divise pas n.
On a n p ≡ n[ p], i.e. p divise n p − n = n(n p−1 − 1).
p étant premier, il divise au moins l’un des facteurs ; or, par hypothèse, p ne
divise pas n, donc p divise n p−1 − 1, i.e. :
n
p−1
≡ 1[ p].
4. Pourquoi l’énoncé distingue-t-il les cas p impair et p = 2 ? Si l’on regarde les
calculs précédents, l’hypothèse « p impair » n’intervient que pour montrer le résultat de la deuxième question dans le cas n < 0.
• Le résultat de la première question est vrai : la démonstration est encore
valable dans le cas p = 2.
• Le résultat de la deuxième question est vrai pour n 0 : encore une fois,
la démonstration est encore valable car elle n’utilise pas la parité de p.
• Considérons désormais un entier n < 0. On a alors, comme précédemment,
(−n)
2
≡ −n[2]
d’où
n
2
≡ −n[2].
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Chapitre 11 • Arithmétique
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