Cependant,
−n ≡ n[2]
donc
n
2
≡ n[2].
Le résultat de la deuxième question reste donc vrai avec p = 2.
• Enfin, le résultat de la troisième question se déduisait de celui de la
deuxième en utilisant le fait que p est premier mais sans utiliser sa parité ;
cette déduction reste donc valable si p = 2 et le résultat est donc également vrai.
Exercice 11.2 : Congruences et restes
Soit n ∈ N ∗ . Déterminer le reste de la division euclidienne de 10 10 n par 7.
10 10 n signifie 10 (10 n ) .
En conséquence :
10 10 n+1 = 10 (10 n ×10)
= (10 10 n ) 10 .
Ainsi, chaque terme est égal au précédent élevé à la puissance 10.
Pour alléger les notations posons u n = 10 10 n .
Nous venons de rappeler que u n+1 = u 10
n : ceci suggère d’essayer de trouver le
résultat par tâtonnements pour de petites valeurs de n puis de le vérifier rigoureusement par récurrence.
Le titre suggère d’utiliser des congruences. Rappelons la relation entre congruence
et division euclidienne : le reste de la division euclidienne de a par b > 0 est
l’unique entier r vérifiant les deux relations :
a ≡ r[b]
0 r b − 1.
Illustrons la méthode générale en déterminant la solution du problème pour n = 1 :
10 ≡ 3 [7]
En élevant au carré :
10 2 ≡ 9 [7]
≡ 2 [7]
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Partie 3 • Algèbre
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