Bien noter où intervient la primalité de p : p divise un produit donc divise au
moins l’un des facteurs du produit.
En revanche, le fait que p ne divise aucun entier compris strictement entre 0 et p
n’a rien à voir avec le fait que p soit premier : aucun entier N ne peut diviser un
entier compris strictement entre 0 et N car ces deux nombres sont deux multiples
consécutifs de N.
2. Nous allons commencer par établir le résultat par récurrence pour n ∈ N. Les
p
k
apparaîtront naturellement en développant une puissance p-ième avec le binôme de
Newton.
Pour n ∈ N posons H n : « n p ≡ n[ p] ».
• H 0 : clairement vraie car 0 p = 0 ≡ 0[ p].
• Hérédité : soit n ∈ N tel que n p ≡ n[ p].
Alors, d’après la formule du binôme de Newton :
(n + 1)
p
=
p
k=0
p
k
n
k
.
Or, si k ∈ {1,. . . ,p − 1} , p divise
p
k
d’après la première question, i.e.
p
k
≡ 0[ p]
d’où
p
k
n
k
≡ 0[ p].
Ainsi, dans la somme, tous les termes dont l’indice k est compris entre 1 et
p − 1 sont congrus à 0 modulo p ; la congruence se réduit donc à
(n + 1)
p
≡ n
p
+ 1[ p].
Or, d’après H n :
n
p
≡ n[ p]
d’où
(n + 1)
p
≡ n + 1[ p].
H n+1 est donc vraie.
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Partie 3 • Algèbre
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