251
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Exercice 11.1 : Petit théorème de Fermat
Soit p un nombre premier impair.
1. Montrer que, pour k ∈ {1,. . . ,p − 1} , p divise
p
k
.
2. En déduire que, pour tout n ∈ Z, n p ≡ n[ p].
3. Montrer que si, de plus, p ne divise pas n, alors n p−1 ≡ 1[ p].
4. Montrer que ces résultats restent vrais pour p = 2.
1. Nous allons utiliser la propriété suivante, appelée lemme de Gauβ : si un nombre
premier divise un produit alors il divise au moins l’un des facteurs du produit.
Par définition :
p
k
=
p!
k!( p − k)!
.
On a donc
p! = k!( p − k)!
p
k
.
Comme p divise p!, p divise le produit
k!( p − k)!
p
k
= 1 × · · · × k × 1 × · · · × ( p − k) ×
p
k
.
p étant premier, il divise donc au moins l’un des facteurs de ce produit.
Cependant, p ne divise aucun des entiers compris entre 1 et k ni aucun de
ceux compris entre 1 et p − k car 0 < k < p et 0 < p − k < p ; ainsi, p
divise
p
k
.
Arithmétique
11
9782100547678-Fresl-C11.qxd 5/07/10 8:49 Page 251
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Exercice 11.1 : Petit théorème de Fermat
Soit p un nombre premier impair.
1. Montrer que, pour k ∈ {1,. . . ,p − 1} , p divise
p
k
.
2. En déduire que, pour tout n ∈ Z, n p ≡ n[ p].
3. Montrer que si, de plus, p ne divise pas n, alors n p−1 ≡ 1[ p].
4. Montrer que ces résultats restent vrais pour p = 2.
1. Nous allons utiliser la propriété suivante, appelée lemme de Gauβ : si un nombre
premier divise un produit alors il divise au moins l’un des facteurs du produit.
Par définition :
p
k
=
p!
k!( p − k)!
.
On a donc
p! = k!( p − k)!
p
k
.
Comme p divise p!, p divise le produit
k!( p − k)!
p
k
= 1 × · · · × k × 1 × · · · × ( p − k) ×
p
k
.
p étant premier, il divise donc au moins l’un des facteurs de ce produit.
Cependant, p ne divise aucun des entiers compris entre 1 et k ni aucun de
ceux compris entre 1 et p − k car 0 < k < p et 0 < p − k < p ; ainsi, p
divise
p
k
.
Arithmétique
11
9782100547678-Fresl-C11.qxd 5/07/10 8:49 Page 251