Par conséquent, la proposition H k+1 est vraie.
• Finalement, la proposition H k est vraie, quel que soit k ∈ N ∗ . En particulier, pour k = n − 1, on trouve
σ
n−1
(1) = n, σ
n−1
(2) = 1,. . . , σ
n−1
(n) = n − 1.
On en déduit que
σ
n−1
= (1 n n − 1 . . . 2) = σ
−1
.
Montrons, à présent, par récurrence que, quel que soit i ∈ {1,. . . ,n − 1}, la
proposition
K i : « on peut engendrer la transposition (i i + 1) à l’aide de σ et de (1 2) »
est vraie.
• La proposition H 1 est vraie car la transposition recherchée est justement
la transposition (1 2) dont l’on dispose.
• Soit i ∈ {1,. . . ,n − 2} tel que la proposition H i est vraie. On peut donc
engendrer la transposition (i i + 1) à l’aide de σ et de (1 2). D’après la
question 1., on a
σ ◦ (i i + 1) ◦ σ n−1 = σ ◦ (i i + 1) ◦ σ −1
= (σ(i) σ(i + 1)) = (i + 1 i + 2).
On en déduit que l’on peut engendrer la transposition (i + 1 i + 2) à l’aide
de σ et de (1 2) et que la proposition H i+1 est vraie.
• Finalement, nous pouvons engendrer toutes les transpositions (i i + 1),
avec i ∈ {1,. . . ,n − 1}, à l’aide de σ et (1 2). D’après la question 2., on en
déduit que l’on peut engendrer S n avec ces mêmes éléments.
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Partie 3 • Algèbre
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