Nous allons utiliser cette écriture pour aboutir au résultat. Plus précisément, nous
voulons montrer que si l’on écrit un élément g de G sous la forme précédente, on a
nécessairement r = 0.
Soit g ∈ G. Nous avons n ∈ E, donc n ∈ N ∗ . Effectuons la division euclidienne de g par n.
Il est important de bien faire remarquer ici que n = / 0. En effet, nous ne pourrions
pas effectuer de division euclidienne si n était nul.
• Il existe q ∈ Z et r ∈ {0,. . . ,n − 1} tels que
g = qn + r.
D’après la question précédente, nZ ⊂ G, donc qn ∈ G. Par conséquent,
nous avons
r = g − qn ∈ G.
• Supposons, par l’absurde que r = / 0. Nous disposons alors d’un élément r
de G qui est strictement positif. Par conséquent, on a r ∈ E. On en déduit
que r inf(E) = n . On aboutit à une contradiction.
• Nous venons de montrer que l’on a nécessairement r = 0. On en déduit
que
g = qn ∈ nZ.
Finalement, nous avons bien
G = nZ.
Exercice 10.3 : Groupe des permutations (MPSI)
Soit n ∈ N ∗ . Nous nous intéresserons ici au groupe S n des permutations de n
éléments.
1. Soient i, j ∈ {1,. . . ,n} et σ ∈ S n . Montrer que
σ ◦ (i j) ◦ σ
−1
= (σ(i) σ( j)).
2. Montrer que le groupe S n est engendré par les transpositions (i i + 1), avec
i ∈ {1,. . . ,n − 1}.
3. Montrer que le groupe S n est engendré par le cycle (1 2 . . . n) et la transposition (1 2).
1. Dans cette première question, nous devons vérifier une égalité entre deux permutations de n éléments. Pour cela, il nous suffit de vérifier que ces permutations
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Partie 3 • Algèbre
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