2.b. Nous venons de montrer que n ∈ E ⊂ G et nous devons, à présent, montrer
que, quel que soit k ∈ Z, nous avons encore kn ∈ G. Si k ∈ N, ce n’est pas difficile.
En effet, nous avons
kn = n + · · · + n,
où le membre de droite comporte k termes. Puisque n ∈ G, nous avons kn ∈ G. Ce
raisonnement se rédige proprement à l’aide d’une récurrence.
Montrons, par récurrence que, quel que soit k ∈ N, la proposition
H k : « kn ∈ G »
est vraie.
• La proposition H 0 est vraie. En effet, nous avons
0n = 0 ∈ G,
car G est un sous-groupe de Z.
• Soit k ∈ N tel que H k est vraie. Nous avons alors kn ∈ G. On en déduit
que
(k + 1)n = kn + n ∈ G,
car kn ∈ G, par hypothèse, et n ∈ E ⊂ G, d’après la question précédente.
Par conséquent, la proposition H k+1 est vraie.
• Finalement, nous avons montré que, quel que soit k ∈ N, on a kn ∈ G.
Nous avons traité le cas des éléments de la forme kn, avec k 0. Il nous reste donc
à montrer que les éléments de la forme kn, avec k 0, appartiennent à G. Nous
pouvons nous ramener au cas précédent en utilisant le fait que, si k 0, alors
−k 0.
Soit k ∈ Z tel que k 0. Nous avons alors −k ∈ N. Par conséquent, nous
savons que −kn ∈ G. Son opposé kn appartient donc encore à G.
Finalement, nous avons montré que
nZ ⊂ G.
2.c. Nous devons montrer que tout élément g de G s’écrit sous la forme g = kn,
avec k ∈ Z. Les éléments de Z ne possèdent pas de telle écriture en général.
Cependant, nous pouvons les écrire de façon proche, à l’aide de la division euclidienne : quel que soit g ∈ Z, il existe q ∈ Z et r ∈ {0,. . . ,n − 1} tels que
g = qn + r.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 10 • Algèbre générale
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