Nous avons
0 = n0 ∈ nZ.
Soient u,v ∈ nZ. Par définition, il existe k,l ∈ Z tels que u = nk et
v = nl. Nous avons alors
u + v = nk + nl = n(k + l) ∈ nZ.
Soit u ∈ Z. Il existe k ∈ Z tel que u = nk. Alors
−u = −nk = n(−k) ∈ nZ.
Finalement, nous avons montré que nZ est un sous-groupe de Z.
2. Soit G un sous-groupe non nul de Z. L’énoncé nous propose de montrer qu’il est
nécessairement de la forme nZ, avec n ∈ N. Pour ce faire, il est logique de chercher
à déterminer d’abord un n candidat et de vérifier, dans un second temps, que l’on a
bien G = nZ. Comment trouver l’entier n ? Il se repère facilement dans le groupe
nZ : c’est le plus petit élément strictement positif du groupe. Nous voyons donc
qu’il est naturel de poser
n = inf{m ∈ G, m > 0},
ainsi que nous le propose l’énoncé.
2.a. Il suffit ici d’utiliser les définitions.
Montrons que l’ensemble
E = {m ∈ G, m > 0}
n’est pas vide. En effet, il existe un élément g ∈ Z ∩ G qui est différent
de 0. Si g > 0, alors g ∈ E. Sinon, g < 0, donc −g > 0. Mais −g ∈ G,
puisque G est un groupe. On en déduit que −g ∈ E.
Posons
n = inf(E).
Observons que E est une partie de N. Elle admet donc un plus petit élément.
Par conséquent, n ∈ E.
Les considérations précédentes sont plus subtiles qu’il n’y paraît. En effet, la
borne inférieure d’une partie d’un groupe n’appartient pas nécessairement à ce
groupe. Pour s’en convaincre, il suffit de considérer le groupe (Q,+). On a, en
effet,
inf{x ∈ Q, x > 0} = 0 /
∈ {x ∈ Q,x > 0}.
244
Partie 3 • Algèbre
9782100547678-Fresl-C10.qxd 5/07/10 8:47 Page 244