Montrons que l’ensemble vide est un élément neutre pour la loi . En effet,
quel que soit F ∈ P(E), on a
F∅ = (F \ ∅) ∪ (∅ \ F) = F ∪ ∅ = F.
Puisque la loi est commutative, nous avons également ∅F = F.
Inverse
Il nous reste, à présent, à montrer que tout élément possède un inverse. Autrement
dit, pour tout sous-ensemble F de E, nous devons trouver un ensemble G qui vérifie FG = ∅. Regardons de nouveau le dessin. Si l’ensemble G contient un point
qui n’appartient pas à F, alors ce point appartient à FG . De même, si un point de
F n’appartient pas à G, alors ce point appartient à FG. Par conséquent, le seul
candidat possible est G = F .
Soit F ∈ P(E). On a
FF = (F \ F) ∪ (F \ F) = ∅ ∪ ∅ = ∅.
Par conséquent, l’élément F possède un inverse qui est F.
Finalement, nous avons montré que (P(E),,) est un groupe commutatif.
Exercice 10.2 : Sous-groupes de Z
1. Montrer que, quel que soit n ∈ Z la partie
nZ = {nk, k ∈ Z}
est un sous-groupe de Z.
2. Soit G un sous-groupe non nul de Z.
a. Montrer que l’ensemble E = {m ∈ G, m > 0} n’est pas vide et que sa borne
inférieure n appartient à E.
b. Montrer que l’on a l’inclusion
nZ ⊂ G.
c. Montrer que l’on a l’égalité
nZ = G.
1. Cette première question est une simple question de vérification. Nous la rédigeons sans plus attendre.
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Chapitre 10 • Algèbre générale
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